高中数学选修2-2教师用书-Word文件

第1页共278页变化率与导数1．1.1&1.1.2变化率问题导数的概念(1)平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？(2)瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？(3)如何用定义求函数在某一点处的导数？[新知初探]1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．(3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．预习课本P2～6，思考并完成下列问题第2页共278页(4)平均变化率的几何意义：设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝fx1＋Δx－fx1Δx为割线AB的斜率，如图所示．[点睛]Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率定义式limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx实质瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值作用刻画函数在某一点处变化的快慢[点睛]“Δx无限趋近于0”的含义Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.3．导数的概念定义式limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx记法f′(x0)或y′|x＝x0实质函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．()(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．()答案：(1)√(2)×(3)×2．质点运动规律为s(t)＝t2＋3，则从3到3＋Δt的平均速度为()A．6＋ΔtB．6＋Δt＋9ΔtC．3＋ΔtD．9＋Δt答案：A3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为()A．4B．4xC．4.2D．4.02答案：C第3页共278页4．在f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx中，Δx不可能为()A．大于0B．小于0C．等于0D．大于0或小于0答案：C求函数的平均变化率[典例]求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值为13，哪一点附近的平均变化率最大？[解]在x＝1附近的平均变化率为k1＝f1＋Δx－f1Δx＝1＋Δx2－1Δx＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝f2＋Δx－f2Δx＝2＋Δx2－22Δx＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k3＝f3＋Δx－f3Δx＝3＋Δx2－32Δx＝6＋Δx；若Δx＝13，则k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝193，由于k1＜k2＜k3，故在x＝3附近的平均变化率最大．求平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)．(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0.(3)求平均变化率ΔyΔx＝fx1－fx0x1－x0.[活学活用]求函数y＝x3从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．第4页共278页解：当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx＝x0＋Δx3－x30Δx＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2，当x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值为3×12＋3×1×12＋122＝194.求瞬时速度[典例]一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．[解](1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，ΔsΔt＝3Δt－Δt2Δt＝3－Δt，limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3－Δt)＝3.∴物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt]，∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)＝－Δt－(Δt)2，ΔsΔt＝－Δt－Δt2Δt＝－1－Δt，limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(－1－Δt)＝－1，∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.1．求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度v＝ΔsΔt；(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于常数v，即为瞬时速度．2．求ΔyΔx(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算；第5页共278页(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．[活学活用]一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝12t2，则t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为()A．2B．1C.12D.14解析：选A∵ΔsΔt＝122＋Δt2－12×22Δt＝12Δt＋2，∴limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→012Δt＋2＝2，故选A.求函数在某点处的导数[典例](1)函数y＝x在x＝1处的导数为________．(2)如果一个质点由定点A开始运动，在时间t的位移函数为y＝f(t)＝t3＋3，①当t1＝4，Δt＝0.01时，求Δy和比值ΔyΔt；②求t1＝4时的导数．[解析](1)Δy＝1＋Δx－1，ΔyΔx＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1，limΔx→011＋Δx＋1＝12，所以y′|x＝1＝12.答案：(1)12(2)解：①Δy＝f(t1＋Δt)－f(t1)＝3t21·Δt＋3t1·(Δt)2＋(Δt)3，故当t1＝4，Δt＝0.01时，Δy＝0.481201，ΔyΔt＝48.1201.②limΔt→0ΔyΔt＝limΔt→0[3t21＋3t1·Δt＋(Δt)2]＝3t21＝48，故函数y＝t3＋3在t1＝4处的导数是48，即y′|t1＝4＝48.1．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤第6页共278页(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；(3)求极限limΔx→0ΔyΔx.2．瞬时变化率的变形形式limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0fx0－Δx－fx0－Δx＝limΔx→0fx0＋nΔx－fx0nΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0－Δx2Δx＝f′(x0)．[活学活用]求函数y＝x－1x在x＝1处的导数．解：因为Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－()1－1＝Δx＋Δx1＋Δx，所以ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx.当Δx→0时，ΔyΔx→2，所以函数y＝x－1x在x＝1处的导数为2.层级一学业水平达标1．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是()A．圆B．抛物线C．椭圆D．直线解析：选D当f(x)＝b时，瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝lim△x－0b－bΔx＝0，所以f(x)的图象为一条直线．2．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为()A．2.1B．1.1C．2D．0第7页共278页解析：选AΔyΔx＝f1.1－f11.1－1＝0.210.1＝2.1.3．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x)＝aB．f′(x)＝bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b解析：选Cf′(x0)＝lim△x－0fx0＋Δx－fx0Δx＝lim△x－0(a＋b·Δx)＝a.4．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为()A．6B．18C．54D．81解析：选B∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32＝18Δt＋3(Δt)2.∴ΔsΔt＝18＋3Δt.∴lim△x－0ΔsΔt＝lim△x－0(18＋3Δt)＝18，故应选B.5．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝()A．Δx－3B．(Δx)2－3ΔxC．－3D．0解析：选Cf′(0)＝lim△x－00＋Δx2－30＋Δx－02＋3×0Δx＝lim△x－0Δx2－3ΔxΔx＝lim△x－0(Δx－3)＝－3.故选C.6．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.解析：∵f′(1)＝lim△x－0f1＋Δx－f1Δx＝lim△x－0a1＋Δx＋4－a＋4Δx＝a，∴a＝2.答案：27.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________．解析：v1＝kOA，v2＝kAB，v3＝kBC，由图象知kOA＜kAB＜kBC.答案：v1＜v2＜v3第8页共278页8．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______．解析：∵Δy＝43π×23－43π×13＝28π3，∴ΔyΔx＝28π32－1＝28π3.答案：28π39．质点按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(s单位：m，t单位：s)．若质点在t＝2时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．解：∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[a(2＋Δt)2＋1]－(a×22＋1)＝4aΔt＋a(Δt)2，∴ΔsΔt＝4a＋aΔt，∴在t＝2时，瞬时速度为lim△x－0ΔsΔt＝4a,4a＝8，∴a＝2.10．已知函数f(x)＝－1x，x0，1＋x2，x≤0求f′(4)·f′(－1)的值．解：当x＝4时，Δy＝－14＋Δx＋14＝12－14＋Δx＝4＋Δx－224＋Δx＝Δx24＋Δx4＋Δx＋2.∴ΔyΔx＝124＋Δx4＋Δx＋2.∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0124＋Δx4＋Δx＋2＝12×4×4＋2＝116.∴f′(4)＝116.当x＝－1时，ΔyΔx＝f－1＋Δx－f－1Δx＝1＋－1＋Δx2－1－－12Δx＝Δx－2，由导数的定义，得f′(－1)＝limΔx→0(Δx－2)＝－2，∴f′(4)·f′(－1)＝116×(－2)＝－18.层级二应试能力达标第9页共278页1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx等于()A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2解析：选CΔyΔx＝f1＋Δx－f1Δx＝21＋Δx2－4＋2Δx＝2Δx2＋4ΔxΔx＝2Δx＋4.2.甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是()A．v甲＞v乙B．v甲＜v乙C．v甲＝v乙D．大小关系不确定解析：选B设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙．3．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足limΔx→0fΔxΔx＝－1，则f′(0)＝()A．－2B．－1C．1D．2解析：选B∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，∴f′(0)＝limΔx→0f0＋Δx－f