函数的单调性与导数ppt

（4）.对数函数的导数:.1)(ln)1(xx.ln1)(log)2(axxa（5）.指数函数的导数:.)()1(xxee).1,0(ln)()2(aaaaaxxxxcos)(sin1）（（3）.三角函数：xxsin)(cos2）（（1）.常函数：(C)/0,(c为常数)；（2）.幂函数：(xn)/nxn1复习：基本初等函数的导数公式单调性的定义对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．判断函数单调性有哪些方法？比如：判断函数的单调性。yx2(,0)(0,)xyo2yx函数在上为____函数，在上为____函数。图象法定义法减增如图：思考：那么如何求出下列函数的单调性呢?(1)f(x)=2x3-6x2+7(2)f(x)=ex-x+1(3)f(x)=sinx-x发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时。例如：2x3-6x2+7，是否有更为简捷的方法呢？下面我们通过函数的y=x2－4x＋3图象来考察单调性与导数有什么关系2yx0.......再观察函数y=x2－4x＋3的图象：总结:该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负;而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3xy1观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.()yfx结论：在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.()0fx()0fx()yfx如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数ab(,)在某个区间内,fx'()0fxab()(,)在内单调递增fx'()0fxab()(,)在内单调递减注意：应正确理解“某个区间”的含义,它必是定义域内的某个区间。2121()()yfxfxxxx1122()A(,())B(,())yfxxfxxfx表示过函数图象上两点、的直线斜率。几何意义：关系：12,()xxyfx当区间()的长度很小时，平均变化率可以近似地反映函数在这个区间的单调性。思考2：结合函数单调性的定义，思考某个区间上函数的平均变化率的几何意义与导数正负的关系。()fx课本思考思考1：如果在某个区间内恒有，那么函数有什么特性？'()0fx()fx()fx是常数函数。利用导数的符号来判断函数单调性:若某个区间内恒有f'(x)＝0，则f(x)为常数函数．设函数y＝f(x)在某个区间内可导（1）如果f'(x)＞0，则f(x)为增函数；若f(x)为增函数，则f'(x)0（2）如果f'(x)＜0，则f(x)为减函数．若f(x)为减函数，则f'(x)0例1、已知导函数的下列信息：'()fx当1x4时，0;当x4,或x1时，0;当x=4,或x=1时，=0.则函数f(x)图象的大致形状是(）。'()fx'()fx'()fx()yfxxyo14xyo14xyo14xyo14ABCD()yfx()yfx()yfxD导函数f’(x)的------与原函数f(x)的增减性有关正负1．应用导数求函数的单调区间(选填:“增”,“减”,“既不是增函数,也不是减函数”)(1)函数y=x－3在[－3，5]上为__________函数。(2)函数y=x2－3x在[2，+∞)上为_____函数，在(－∞,1]上为______函数。基础训练：增增减利用导数确定函数的单调性的步骤：（1）确定函数f(x)的定义域；（2）求出函数的导数；（3）解不等式f(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f(x)＜0，得函数的单调递减区间．求函数的单调区间。变1：求函数的单调区间。3233yxx233yxx理解训练：'63yx解：11'0,'022yxyx令得令得233yxx1(,)2的单调递增区间为单调递减区间为1(,)2解：2'963(32)yxxxx2'003yxx令得或2'003yx令得3233yxx的单调递增区间为单调递减区间为2(0,)32(,0),(,)3变3：求函数的单调区间。1yx变2：求函数的单调区间。33xyex巩固提高：'01xye令得解:'33xye33(0,)xyex的单调递增区间为(,0)单调递减区间为0'010xeyex令得0x0e解:21'0,yx0,x但1(,0)(0,)yx的单调递减区间为，注意:单调区间不可以并起来.例3、判断下列函数的单调性，并求出单调区间：(1)f(x)=x3+3x;解：=3x2+3=3(x2+1)0)(xf从而函数f(x)=x3+3x在x∈R上单调递增，见右图。xyoxxxf3)(3xyo132)(2xxxf(2)f(x)=x2-2x-3;解：=2x-2=2(x-1))(xf图象见右图。当0，即x1时，函数单调递增；)(xf当0，即x1时，函数单调递减；)(xfxyoxxxfsin)((3)f(x)=sinx-x;x∈(0,p)解：=cosx-10)(xf从而函数f(x)=sinx-x在x∈(0,p)单调递减，见右图。(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;解：=6x2+6x-24=6(x2+x-4))(xf当0，即时，函数单调递增；)(xf21712171xx或xyo图象见右图。当0，即时，函数单调递减；21712171x)(xf(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;练习判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;)()2(;42)()1(2xexfxxxfx.)()4(;3)()3(233xxxxfxxxf总结:当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。1°什么情况下，用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便？2°试总结用“导数法”求单调区间的步骤？设是函数的导函数，的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()()fx'()fx'()yfx()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo'()yfx2(A)(B)(C)(D)C322(),,,30()()()()()fxxaxbxcabcabfxRABCD函数其中为常数，当时，在上()增函数减函数常数既不是增函数也不是减函数A求参数的取值范围325ax-xx-例1：求参数的范围若函数f(x)在(-,+)上单调递增，求a的取值范围13a2120101fxaxx,,xfxx,a.已知函数（），(]若（）在(]上是增函数，求的取值范围322f'xax()例2：解：由已知得因为函数在（0，1]上单调递增31f'xa-xx()0,即在（0，1]上恒成立31gxxgxgmax而()在（0，1]上单调递增，()(1)=-11a-322f'xx当a1时，()1f'xa-fx对x（0，1）也有()〉0时，（）在(0,1)上是增函数所以a的范围是[-1，+）在某个区间上，，f（x）在这个区间上单调递增（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到是不够的。还有可能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证f'x()0(或0)f'x()0(或0)320fxax-xxafxa练习1已知函数()=，(0,1],,若()在（0，1]上是增函数，求的取值范围。,3[)2例3：方程根的问题求证：方程只有一个根。102xsinx12110201002f(x)x-sinx,x(,)f'(x)cosxxxfxxsinxx.f()在（，）上是单调函数，而当时，（)=0方程有唯一的根综合训练cossin335()(,)()(,2)()(,)()(2,3)2222yxxxABCDpppppppp1.函数在下面哪个区间内是增函数():(cossin)(cos)coscos(cos)cossinsin0,sin0解∵yxxxxxxxxxxxxxxxxx∵(,2),0,sin0,sin0xxxxxppB33(,)332.函数y=a(x3-x)的减区间为则a的取值范围为()(A)a0(B)–1a1(C)a1(D)0a1)33,33(A3.已知函数232()4()3fxxaxxxR在区间1,1上是增函数，求实数a的取值范围．解：2()422fxaxx，因为)fx在区间1,1上是增函数，所以()0≥fx对1,1x恒成立，即220≤xax对1,1x恒成立，解之得：11≤≤a所以实数a的取值范围为1,1．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则()0fx≥；若函数单调递减，则()0fx≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．C∵)()(xgxf,∴()()0fxgx,∴(()())()()0fxgxfxgx∴()()fxgx在,ab上单调递增,∴()()()()fxgxfaga,∴()()()()fxgagxfa课外训练:1.设)(xf、)(xg在,ab上可导，且)()(xgxf，则当bxa时，有（）()()()Afxgx()()()Bfxgx()()()()()Cfxgagxfa()()()()()DfxgbgxfbC证明：令f(x)=e2x－1－2x.∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1)∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0,即f′(x)＞0∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数.∵f(0)=e0－1－0=0.∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0.∴1+2x＜e2x2.当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x.分析：假设令f(x)=e2x－1－2x.∵f(0)=e0－1－0=0,如果能够证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以证明.点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0.3.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。)231,fxax解:)0,,)afx若则在(-恒正,)fx只有一个单调区间,与题意不符.)211133,333fxaxaxxaaa若a0,则)0,],[,)afx11时有三个单调区间,(-,--3a-3a,11为它的减区间,为它的增区间.-3a-3a提示:运用导数判断单调性,根据函数的单调性比较函数值大小练习:已知1x，求证：ln(1)xxab(,)在某个区间内,fx'()0fxab()(,)在内单调递增fx'()0fxab()(,)在内单调递减