E的接触点

第三节开集,闭集,完备集第二章点集1.开集、闭集P0为E的接触点：P0为E的聚点：P0为E的内点：EOp),(0,0有EOp),(0,0使得}){(,00),(0pEOp有EEEEEEEEE'''}{等价于故的孤立点全体由于说明：要证E是开集，只要证要证E是闭集，只要证)(显然因为EEEE)('显然因为或EEEEEEEE若Eº=E,则称E为开集（E中每个点都为内点)若,则称E为闭集（与E紧挨的点不跑到E外）例：开区间(a,b)为开集说明：要证E是开集，只要证)(显然因为EEEEabx),(),(baOx证明：任取x∈(a,b),取δ=min{|x-a|,|x-b|},则,从而x是（a,b）的内点，故(a,b)是开集。例：闭区间[a,b]为闭集说明：要证E是闭集，只要证''()()()ccccEEEEEEEEEE或或或因为显然abxcxbaO],[),(证明：任取x∈[a,b]c,取δ=min{|x-a|,|x-b|},则,从而x不是[a,b]的接触点，从而[a,b]的接触点都在[a,b]内，从而[a,b]是闭集。注：闭集为对极限运算封闭的点集即：A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点利用：p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列{pn},使得或p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列{pn},使得0limppnn0limppnn若（或）,则称E为闭集。（与E接近的点不跑到E外）EEEE'Eº为开集注：Eº为含于E内的最大开集为开集，即从而EEE)(EOOxy),()',(则)',(yOEEOx),()(Ex从而y为E的内点，从而所以x为Eº的内点，即)(EE证明：只要证),(xOEOx),(,0使得Ex任取，由内点的定义知),(xOy),('yxd任取，取E`为闭集}){'(,0),(xEOx有),(xO(',')(',')(,)'0,({'})('min{(,'),(,')}xxxOExdxxdxxOO知有当时,有x）)','(xOE(,)'('{})''xxOExxE取，由')''(EE)''(Ex证明：只要证任取，由聚点的定义知E`为闭集注：为包含E的最小闭集E(',')(',')(,)'0,({'})('min{(,'),(,')}xxxOExdxxdxxOO知有当时,有x）为闭集可得利用EEEEEEEEEE''')''(')''()'()','(xO),(xOE}){(),(xEOx')''(EE从而即x为E的聚点，从而2开集与闭集的对偶性P0为E的接触点：P0为E的聚点：P0为E的内点：P0为E的外点：EOp),(0,0有EOp),(0,0使得}){(,00),(0pEOp有cppEOEO),(),(00,,0即使得b.若E为开集，则Ec为闭集;若E为闭集，则Ec为开集。ccccEEEE)()()()(a.开集的余集是闭集CECE从而x不是Ec的接触点，也即Ec的接触点一定在Ec内，从而，即Ec为闭集。EOExx),(,0,使得证明：设E为开集，即(,)cxOE从而闭集的余集是开集EE证明：设E为闭集，即cxE任取，假如x不是Ec的内点，则x的任一邻域内至少有一个属于E的点，cxE从而x为E的接触点，由Ｅ为闭集可知x在E内，这与矛盾，所以Ec中的点都为Ec的内点，即Ec为开集。3开集的性质a.空集，Rn为开集;b.任意多个开集之并仍为开集；c.有限个开集之交仍为开集。注：无限多个开集的交不一定为开集，如：En=(0,1+1/n),Rn中只有空集和Rn既开又闭，存在大量既不开又不闭的集合，如：E=[0,1)AB4闭集的性质4a.空集，Rn为闭集；5b.任意多个闭集之交仍为闭集；6c.有限个闭集之并仍为闭集。注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：En=[0,1-1/n]ccAA)(若E为开集，则Ec为闭集;若E为闭集，则Ec为开集ccAA)(5.隔离性定理及点集间的距离隔离性定理设是中两个互不相交的闭集，证明：存在两个互不相交的开集，使得2,1FFnR21G,G2211FG,FG注：隔离性定理中“闭集”的条件不能少，如[2，3）和（3，5]点集间的距离},:),(inf{),(}:),(inf{),(ByAxyxdBAdByyxdBxdBAb.若,则d(A,B)=0;反之则不一定成立，如A={n-1/n},B={n+1/n}（都是闭集）Bxc.d(x,B)=0当且仅当注：a.若x∈B,则d(x,B)=0;反之则不一定成立，如x=0,B=(0,1)证明：利用d(x,E)≤d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)z∈E定理设E为Rn中非空点集，则d(x,E)是Rn上关于x的一致连续函数所以d(x,E)是Rn上关于x的一致连续函数。可得d(x,E)≤d(x,y)+d(y,E)，同理d(y,E)≤d(x,y)+d(x,E),故有|d(x,E)-d(y,E)|≤d(x,y)定理（距离可达性定理1）：设A为非空闭集，x∈Rn，则必有y∈A,使得d(x,y)=d(x,A)11,,(,)(,)(,)nnnnyAdxAdxydxA使得闭集：与E紧挨的点不跑到E外，也即E外的点与E不可能紧挨{}{}{}limiinnnniyyyyy由于为有界点列，故的子列，使1(,)(,)(,)iinndxAdxydxA又Ａ为闭集，故y∈A,对两边关于i取极限即得d(x,y)=d(x,A)(,)inf{(,):}dxAdxyyA证明：由可得定理（距离可达性定理2）：设A,B为非空闭集，且A有界，则必有x∈A,y∈B,使得d(x,y)=d(A,B)nnnnnnBAdyxdBAdByAx11),(),(),(,,,使得可知xxxxiininnlim}{}{，使的子列由于A有界，故},:),(inf{),(ByAxyxdBAd证明：由ABA有界不可少，如A={n-1/n},B={n+1/n}yyyyjijiinjnnlim}{}{，使的子列从而jijijinnnBAdyxdBAd1),(),(),(又B为闭集，故y∈B,另外对两边关于j取极限得d(x,y)=d(A,B)又A为闭集，从而x∈A，并可得{yni}有界因为当ni充分大时，d(x,yni)≤d(x,xni)+d(xni,yni)≤1+(d(A,B)+1/ni）定理：设F1，F2为Rn中两个互不相交的非空闭集，则存在Rn上的连续函数f(x)，使得（1）0≤f(x)≤1，x∈Rn（2）f(x)=0，x∈F1;f(x)=1,x∈F2注：可推广到一般的拓扑空间（参见：拓扑学教材），即Urysohn引理.是连续函数可得关于及证明：由xFxdFxdFxdFxdFxdxf),(),,(),(),(),()(21211F2F1思考两个闭集不相交，下面的结论一定成立吗？上面条件换成有界闭集呢？2,1FF0}Fq,Fp:)q,p(inf{)F,F(2121dd6.R中有关紧性的两个结论⑴Bolzano-Weierstrass定理：若E是Rn中的一个有界的无限集，则E至少有一个聚点.注：对无限维空间不一定成立。⑵Heine-Borel有限覆盖定理设F为Rn中的有界闭集，若开集簇覆盖F，即，则中存在有限个开集U1，U2，…,Un，它同样覆盖F}:{IiUiiIiUF}:{IiUi注：比较下面几种不同的证法1.周民强，实变函数p-362.尤承业，基础拓扑学p-523.熊金城，点集拓扑讲义p-2024.教材p-42注：Heine-Borel有限覆盖定理的逆命题也成立定义（紧集）设M是度量空间X中的一集合，是X中任一族覆盖了M的开集，如果可从中选出有限个开集U1，U2，…,Un仍然覆盖M，则称M是X中的紧集}:{IiUi结论：中紧集与有界闭集等价nR但在一般的度量空间中，紧集必为有界闭集，而有界闭集不一定为紧集定理：设M是度量空间中的紧集，则M是X中的有界闭集举例说明有界闭集未必是紧集（教材P306例2）可数覆盖定理设F为Rn中一集合，若开集簇覆盖F（即），则中存在可数个开集U1，U2，…,Un，…，它同样覆盖F}:{IiUiiIiUF}:{IiUi提示：利用空间中以有理点为中心，正有理数为半径的圆全体为可数集，开集中的点都为内点，以及有理点全体在Rn中稠密和有理数全体是R的稠密集7自密集和完备集的定义自密集：设，如果，则称E为自密集，也即集合中每点都是这个集合的聚点，或没有孤立点的集合为自密集。例：有理数集Q为自密集完备集：设，如果，则称E为完备集。例：任何闭区间及全直线都为完备集nRE'EEnRE'EE第四节直线上的开集,闭集,完备集的构造第二章点集7.直线上的开集构造定义（构成区间）设G为直线上的开集，如果开区间而且端点不属于G，则称为G的构成区间。例如：G),(,),()d,c()b,a(A()(())abcc’d’d(a,b),(c,d)为构成区间（c’,d’）不是定理：直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的构成区间的并，又当非空开集表示成互不相交的开区间的和集时，这些区间必是构成区间()()()()(⑴直线上的闭集或是全直线，或是从直线上挖去有限个或可数个互不相交的开区间所得之集.开集构造性定理⑵直线上的闭集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开区间的公共端点;（4）Rn中的开集一般不能表示成至多可数个互不相交的开区间之并，但总可表示成至多可数个互不相交的半开半闭区间之并，且不唯一.()()()()(（3）（完备集的构造定理）直线上的完备集F或是全直线，或是从直线上去掉有限或可数个互不相交的没有公共端点的开区间而得到的集合8.Cantor集第n次去掉的开区间留下的闭区间12n1)1(iIi2,1)1(iIi2)2(2,2,1iIi2,1)2(iIi1()1,2,2innIinniiI2,2,1)(ininIG)(,⑴定义：令称P=[0,1]-G=[0,1]∩Gc为Cantor集⑵Cantor集的性质ininIG)(,a.分割点一定在Cantor集中Cantor集P=[0,1]-G=[0,1]∩Gc为闭集注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n的开区间11231323111nnnb.P的“长度”为0，去掉的区间长度和c.P没有内点()x-εxx+ε第n+1次等分去掉的区间第n次等分留下的区间()130,nniIO（x,）当时，有但由Cantor集的作法知，我们要对继续三等分去掉中间一个开区间，从而内至少有一点不属于P，所以x不可能是P的内点。O（x,）()niI证明：对任意x∈P,x必含在“去掉手续进行到第n次”时留下的2n个长为1/3n的互不相交的某个闭区间中d.P中的点全为聚点,从而没有孤立点}){(),(xPOx从而从而x为P的聚点，当然不为孤立点。}){(,0),(xPOx有证明：对任意x∈P，只要证：()1(,)3,,nnxiniOI及某个，使)(niI由Cantor集的作法知而的两个端点定在P中，第n次等分留下的区间()x-δxx+δnniI31||)(数的进位制简介十进制小数相应于对[0,1]十等分二进制小数相应于对[0,1]二等分三进制小数相应于对[0,1]三等分说明：对应[0,1]十等分的端点有两种表示，