第2章-数电逻辑函数的化简

第2章逻辑函数及其化简2.1基本逻辑运算和逻辑符号及等价开关电路2.2逻辑代数的基本公式、定律、规则和恒等式2.3逻辑函数的代数变换和化简2.4逻辑函数的标准形式和卡诺图表示法2.5用卡诺图化简逻辑函数2.1基本逻辑运算和逻辑符号及等价开关电路•三种基本的逻辑运算(所有运算均由三种基本运算组合而成)•与运算•或运算•反运算（非运算）•几种常用逻辑运算•逻辑函数的表示方法•逻辑运算:当0和1表示逻辑状态时，两个二进制数码按照某种特定的因果关系进行的运算。逻辑运算与算术运算完全不同，它所使用的数学工具是逻辑代数（布尔代数）。•逻辑代数与普通代数:与普通代数不同,逻辑代数中的变量只有0和1两个可取值，它们分别用来表示两个完全对立的逻辑状态。与运算灯电源S1S2S1S2灯断开断开不亮断开接通不亮接通断开不亮接通接通亮状态表用逻辑语言来描述：开关的状态用逻辑变量A、B表达灯的状态用逻辑变量L来表达开关接通用逻辑1表示开关断开用逻辑0表示灯亮用逻辑1表示灯灭用逻辑0表示真值表ABL000010100111与运算逻辑符号逻辑表达式波形图真值表111001010000L=A·BBAL=A·BAB&L只有当决定某一事件的条件全部具备时，这一事件才会发生。这种因果关系称为与逻辑关系。LAB或运算灯电源S1S2接通断开接通断开S2灯S1不亮断开亮接通亮接通亮断开状态表开关的状态用逻辑变量A、B表达灯的状态用逻辑变量L来表达开关接通用逻辑1表示开关断开用逻辑0表示灯亮用逻辑1表示灯灭用逻辑0表示真值表ABL000011101111或运算逻辑符号逻辑表达式波形图真值表111101110000L=A+BBA1ABL=A+BL只要在决定某一事件的各种条件中，有一个或几个条件具备时，这一事件就会发生。这种因果关系称为或逻辑关系。LAB非运算A灯接通不亮断开亮状态表真值表AL1001灯的状态用逻辑变量L来表达开关接通用逻辑1表示开关断开用逻辑0表示灯亮用逻辑1表示灯灭用逻辑0表示灯电源A非运算逻辑符号逻辑表达式波形图1AL1AA事件发生的条件具备时，事件不会发生；事件发生的条件不具备时，事件发生。这种因果关系称为非逻辑关系。LA两输入变量与非逻辑真值表ABL001010111110ABLAB&L与非逻辑符号与非逻辑表达式L=A·B1)与非运算几种常用逻辑运算两输入变量或非逻辑真值表ABL001010111000B≥1AABLL或非逻辑符号2)或非运算L=A+B或非逻辑表达式几种常用逻辑运算3)异或逻辑若两个输入变量的值相异，输出为1，否则为0。异或逻辑真值表ABL000101011110BAL=1ABL异或逻辑符号几种常用逻辑运算异或逻辑表达式BABABAL4)同或运算若两个输入变量的值相同，输出为1，否则为0。同或逻辑真值表ABL001010111001B=ALABL同或逻辑逻辑符号同或逻辑表达式L=AB+BA=AB几种常用逻辑运算5)与或非运算与或非逻辑表达式DCBAL与或非逻辑符号&ABL&≥1CD6)或与非运算或与非逻辑表达式)()(DCBAL或与非逻辑符号≥1ABL≥1&CD几种常用逻辑运算逻辑函数及其表示方法•常用的逻辑函数描述方式：真值表、逻辑函数表达式、逻辑图、波形图、卡诺图等•二值逻辑函数－－变量和输出(函数)的取值只有0和1两种状态的函数表达式。写作：在逻辑电路中，自变量将作为输入变量，因变量将作为输出变量，当输入变量的取值确定之后，输出变量也随之确定。),,(CBAFL•逻辑函数－－描述输入逻辑变量和输出逻辑变量之间的因果关系。•举例：楼梯照明灯的控制电路•描述逻辑函数各个输入变量的取值组合和输出变量取值之间对应关系的表格叫做真值表。例1：用真值表表示逻辑函数例2：用真值表证明真值表BALBABA逻辑函数表达式ABCL1L20000100111010010111110000101011100111100•具体步骤：•找出真值表中逻辑函数L=1的那些输入变量取值的组合。•每个输入变量取值的组合对应一个乘积项，其中取值为1的写成原变量，取值为0的写成反变量。•将这些乘积项相加，即得到L的逻辑函数表达式。•逻辑函数表达式是用与、或、非等运算组合起来，表示逻辑函数与逻辑变量之间关系的逻辑代数式。•例：已知某两个逻辑函数L1,L2的真值表，写出真值表所表示的逻辑函数L1,L2的逻辑函数表达式。逻辑图ABCAL1EDCBAL)(2L11≥1&&ABC•用与、或、非等逻辑符号将逻辑函数中各个变量之间逻辑关系表示出来的一种图形称为逻辑函数图，简称逻辑图。例1：用逻辑图表示下列逻辑函数注意：逻辑运算的先后顺序，即先进行单个变量的非运算，然后按先括号内后括号外、先“与”后“或”的顺序。例2：写出逻辑图的逻辑函数表达式。例：已知A、B的波形，求AB和A+B的波形。ABABA+B首先写出A、B的分段值，再按照逻辑运算的规律计算可得。与运算：有0出0，全1为1。或运算：有1出1，全0为0。0011101011111101000101000000010001B为0A为0同理可得这就是逻辑波形图。波形图控制楼梯照明灯电路abcdAB～楼道灯开关示意图1.真值表表示方法开关A灯下下上下上下上上亮灭灭亮开关B开关状态表A、B:向上—1向下--0L:亮---1;灭---0确定变量、函数，并赋值开关:变量A、B灯:函数L逻辑真值表ABL001100010111ABBAL逻辑真值表ABL001100010111控制楼梯照明灯电路（续）逻辑表达式：LABL11≥1&&AB逻辑图：真值表ABL001100010111用输入端在不同逻辑信号作用下所对应的输出信号的波形图，表示电路的逻辑关系。控制楼梯照明灯电路（续）2.2逻辑代数的基本定律和恒等式•0-1定律•交换律：•分配律：•反演律（摩根定理）：•吸收律：•其它常用恒等式：•结合律：)()(CBACBA)()(CBACBAABBAABBACABACBA)()()(CABACBACBACBACBACBA•异或和同或的性质*逻辑代数的基本规则•代入规则：在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边出现的某变量A，都用一个函数代替，该等式依然成立，这个规则称为代入规则。•反演规则：源于摩根律，要完成3个变换，用于求反函数。)(:CBBBABA换成将例CBACBACBA)()(CBBBABA换成将CBACBACBA)(非变量原变量•运算符的变换：10•变量的变换：•常量的变换：逻辑代数的基本规则EDCBALL例2：，求在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：(1)保持运算的优先顺序不变(先括号，再与，最后或)，必要时加括号表明。(2)对于反变量以外的非号（即非号包含两个以上的变量时）保持不变。EDCBAL)(DCCBAL)(L例1：，求CBCADACDCBADCCBAL)(][])([逻辑代数的基本规则•对偶规则：某个逻辑恒等式成立时，其对偶式也恒成立。在一个逻辑函数式L中，实行运算符互换，常量“0”“1”互换，得到的新逻辑式记为L’，则称L’为L的对偶式。（注意不实行变量的互换。）BCACABA))((例如吸收律：成立，)(CBACABA则其对偶式：也成立。00,1AAA例如0-1律：成立，11,0AAA则其对偶式：也成立。0-1律AA011A•变量与常量的关系•与逻辑：•或逻辑：00AAA1AAAAA01AAAAA•变量与自身的关系•与逻辑：•或逻辑：AA•还原律吸收律ABAA)(ABAABABAACBACABA))((CABACBCABACABADCBCABA))(())()((CABACBCABAABABAABBBA)(ABABA))((•吸收律：•其它常用恒等式：(证明)异或和同或的性质异或和同或的其他性质:A0=AA1=AAA=0A(BC)=(AB)CA(BC)=ABACA1=AA0=AAA=1A(BC)=(AB)CA+(BC)=(A+B)(A+C)对奇数个变量而言，有A1A2...An=A1A2...An对偶数个变量而言，有A1A2...An=A1A2...An运算定律的证明方法•列真值表的方法：无局限，但烦琐，适用于变量较少的时候1110111101110000BABAABA证明吸收律BABAA•公式法：灵活、简洁，对技巧的要求比较高BABABAAABAABABAABABABABAA1)()()1(基本定律分配律结合律分配律基本定律•逻辑函数的代数变换2.3逻辑函数的代数变换和化简•逻辑函数为什么需要做代数化简？•逻辑函数代数化简的常用方法CAABL1CBCAABL2CBABCACABABCL3①并项法②吸收法③配项法1AABABAAAABA•代数化简练习CAABBCCAAB逻辑函数的代数变换•逻辑函数为什么需要做代数变换•逻辑函数的几种常见形式与-或、或-与、与非-与非、或非-或非、与-或-非、或-与-非•逻辑函数的最简与-或表达式•最简与-或式的特点：与项（乘积项）的个数最少每个乘积项中变量的个数最少逻辑函数为什么需要做代数变换BAABLAB&AB1A1B&1LBAABBAABLAB&&&&&)()()()())((DCCADCCADCCADCACDCCADCACL同一函数不同形式的最简表达式与-或式或-与式与非-与非式或非-或非式与-或-非式或-与-非式代数变换的方法)()(DCCADCACDCACDCACL两次取反，用反演规则（摩根律）DCCADCCADCCADCCAL)()()()(与-或式与非-与非式或-与-非式或-与式或非-或非式与-或-非式•与-或式→与非-与非式→或-与-非•或-与式→或非-或非式→与-或-非并项法化简例题1DCBADCBA)()(DCBABADC))()((并项法化简例题2DECBAABCDABCCBA)(DEBBDBBACACDEBDBBBAC))((并项法化简例题3DCABACDCAABC)()(DCADCABACABCDCACAADCBBAC)()(并项法化简例题4DCEADCADBADBCA)(CECBBCDADACEBCBCDA)())()((CECBBCDADAECBCDA)(吸收法例题1)())((DBACDBACDBCBDADBAC吸收法例题2DCBADCDCBACBA)(DCBABACBADC)1)((吸收法例题3)()(BACBADCBADABACBADA)(BACBADCBADA))((BACBACBDADADA吸收法例题4))((DCABABACDCABADCABACDCABA)(BABA0吸收法例题5DBCACBACBACBADBCAACCACABDBCACAACCAB)()(DBCACBAABDBCACBACCAB)(CBDBCBADBCACBAB)(DBCACABDBCAACAB)()(CBDCABACBDCBA)(吸收法例题6DABCDCBABABADABCBADCBABADCABBABA)(