2.3 线性相关和线性无关

第一节线性方程组的消元法第二节n维向量第三节线性相关与线性无关第四节向量的秩第五节矩阵的秩第二章线性方程组与向量设k1,k2,…,ksR,1,2,…,s是n维向量，若=k11+k22+…+kss，则称为向量或称可由向量组1,2,…,s线性表出.1,2,…,s的一个线性组合，第三节线性相关和线性无关一、线性表出1、线性表出2、例题例12(1,2,1,2),(2,4,1,1),(1,2,2,1)12因为12所以是和的线性组合。设12321123,1,2,31235例设请给出它的一种表达式。332211kkk153233222321321321kkkkkkkkk解即解此线性方程组，得其一般为：123,,试判断可否由线性表出，如果可以，设ckckck32157123,,0c0,5,7321kkk由此可知可由线性表出，为了给出一个表达式，令则，于是有321057一般的1112112122221212,,,,nnnmmmnmaaabaaabaaab12,,,n可以由线性表出的充要条件是下列线性方程组有解：nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111且表达的方式和解的个数同样多。二、线性相关和线性无关1、线性相关和线性无关对于n维向量组1,2,…,s，如果存在不全为零的实数k1,k2,…,ks使得：k11+k22+…+kss=0否则，称1,2,…,s线性无关。则称n维向量组1,2,…,s线性相关；所谓1,2,…,s线性无关，即如果则必有k1=k2=…=ks=0。k11+k22+…+kss=02、例题单个非零向量线性无关：事实上，若非零向量若则必有，所以单个非零向量必线性无关。12(,,,)naaa12(,,,)(0,0,,0)nkkaaa0k例证明：n维基本向量组线性无关：12(1,0,,0)(0,1,,0)(0,0,,1)n例若得由此可知，只有时所以基本向量组线性无关。11220nnkkk)0,,0,0(),,,(21nkkk021nkkknnkkk2211n,,21证明一般的11121212221212,,,nnnmmmnaaaaaaaaa12,,,n判断向量组是否线性相关，就要看齐次线性方程组是否有非零解。即ssxxx2211111122121122221122000nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax设向量组线性无关，证明向量组也线性无关（证明略）。321,,aaa133221,,例三、性质1、性质当n≥2时，向量组1,2,…,n线性相关的充分必要条件是其中至少有一向量能由其余向量线性表出。必要性证明k1,k2,…,kn，使k11+k22+…+knn=0。于是设1,2,…,n线性相关，则有不全为零的实数不妨设ks0,性质11111.nnnnnkkkkααα即n可由1,2,…,n1线性表出.若某个向量例如1可被其余向量线性表出，不放设1=k22+k33+…+knn于是11+(k2)2+…+(kn)n=0其系数不全为零，故1,2,…,n线性相关。充分性向量组1,2,…,n线性无关的充要条件是向量组中的每个向量不能由其余向量线性表出。如果向量组线性无关，而向量组线性相关，则向量可以由向量组唯一线性表示。12,,,naaa12,,,,naaa12,,,naaa推论性质212,,,,naaa12,,,,nkkkk1122nnkkkk12,,,naaa先证向量可由线性表出，因为线性相关，故存在不全为零的数，使得证明12,,,naaa0k0k1122nnkkk0k1212nnkkkkkk12,,,naaa其中必有，否则，若，上式成为这与线性无关相矛盾，因此故即可由线性表出。再证表示方法唯一，如果还可以表示为12,,,naaa1122nnlll121122()()()nnnkkklllkkk0(1,2,,)iiklink则有由线性无关，有1212,,,nnkkklllkkk即所以表示方法唯一。性质3如果向量组线性相关，则添加若干个向量以后得到的新的向量组也线性相关。saaa,,,21121,,,,,,ssnaaasaaa,,,2112,,,skkk1122sskkk因为向量组线性相关，则存在一组不全为0的数，使得证明121,,,,,,ssnaaa1122100sssnkkk12,,,,0,0,0skkk于是有显然不全为零，所以向量组线性相关。这个定理可以概括为“部分相关，整体必相关”。如果是一组线性无关的向量，则从中任意取出若干个向量都是线性无关的。12,,,naaa推论的结论也可概括为“整体无关，部分必无关”。推论设r维向量组线性无关，则在每个向量上再添上n-r个分量，得到的n维向量组也线性无关。12(,)1,2,,iiiiraaais121(,,,)1,2,,iiiiririnaaais性质4设存在数，使得skkk,,,21sskkk2211证明0000022111212111221122221121221111ssnnnssrrrssrrrsssskakakakakakakakakakakakakakaka即有在前面n个等式中，前面r个等式表明由于向量组是线性无关的，所以有于是上面的方程组只有零解，因此向量组线性无关。sskkk2211saaa,,,21021skkks,,,21这个定理可以概括为“线性无关的向量组其加维向量组也线性无关”。例如向量组线性无关，则向量组也一定线性无关。(1,0),(0,1)(1,0,2,3),(0,1,9,0)推论saaa,,,21s,,,21s,,,21saaa,,,21设是s个r维向量，是添加了n-r个分量的n维向量，若线性相关，则必线性相关。性质511112122122212(,,,)(,,,)(,,,)nnnnnnnaaaaaaaaan个n维向量线性相关（无关）的充要条件是行列式)0(0212222111211nnnnnnaaaaaaaaan+1个n维向量必线性相关。性质6向量组000,311,311,201,012543212、例题例1、向量的个数大于向量的维数，所以向量组是线性相关的；2、由于向量组中含有零向量，则该向量组是线性相关的；3、由于，所以是线性相关的，由“部分相关，则整体相关”，所以该向量组是线性相关的。13331,【复习思考题】1、利用非齐次和齐次线性方程组的向量形式,谈谈你是怎样理解线性组合、线性相关、线性无关这几个概念的.2、叙述证明一个向量组线性无关(或线性)的过程.3、一个行向量组的线性相关性与它们对应的列向量组的线性相关性否相同?为什么?