2.3-5 逆矩阵

§2.3几种特殊的矩阵（一）对角矩阵如果n阶矩阵()ijaA中的元素满足条件0,(,1,2,,)ijaijijn则称A为n阶对角矩阵，即1122nnaaaA容易看到11112222nnnnakaakakaka11112222nnnnababab11112222nnnnababab11112222nnnnababab11112222nnnnababab（二）数量矩阵如果n阶对角矩阵A中的元素1122,nnaaaa则称A为n阶数量矩阵.这是由于，若即aaaAaaaA111212122212nnnnnnbbbbbbbbbB则111212122212llnnnlnlbbbabbbaabbbaABA（三）单位矩阵如果在n阶数量矩阵中的元素a=1，则称A为n阶单位矩阵，记作nI或,nE有时简记为I或E，即111nI单位矩阵,nmII满足,mmnmnmnnmnIAAAIA对于n阶矩阵A，规定0AI（四）三角形矩阵上三角形矩阵11121222,0,nnijnnaaaaaaijaA=下三角形矩阵11212212,0,ijnnnnbbbbijbbbB=若A,B为同阶同结构的三角形矩阵，则kA，ABA+B仍是同阶同结构的三角形矩阵.（五）对称矩阵如果n阶矩阵()ijaA满足,,1,2,,,ijjiaaijn则称A为对称矩阵.显然有TAA.数乘对称矩阵、同阶对称矩阵的和仍是对称矩阵,但对称矩阵的乘积未尽是对称矩阵.例如011111111100不是对称矩阵.例设A和B是两个n阶对称矩阵，证明A与B是可交换的充要条件是AB是对称矩阵.证:设A,B是对称矩阵，则TTAA,BB.若A,B是可交换的，即AB=BA,于是有TTTT()(),ABABBAAB可见AB是对称矩阵.设AB是对称矩阵，即T(),ABAB于是有TTT(),ABABBABA即知A,B是可交换的.例设A是m×n矩阵，则TAA是对称n阶矩阵.证:T(),(),ijmnijnnabAAA则由于TA的第i行为12(,,,),iimiaaaA的第j列为12,jjmjaaa于是1122.ijijijmimjbaaaaaa而TA的第j行为12(,,,),jjmjaaaA的第i列为12,iimiaaa于是1122.jiijijmimjbaaaaaa可见,ijjibbTAA是对称矩阵.§2.4分块矩阵（一）矩阵的分块将矩阵分成若干个块，称为子块，在作理论探讨和矩阵运算时，会带来许方便.例如1003010100100001A若令311004010,10010IA2(000),(1)O=A则312IAA=OA1003010100100001A若令231003,0101IA00,00O=则232IAA=OI若令12310030101,,,,00100001εεε则123A（二）分块矩阵的运算用分块矩阵作运算时,将子块看作元素.设111212122212,rrmnpqsrsssrAAAAAAAAAAA则111212122212,rrmnpqsrsssrkkkkkkkkkkkAAAAAAAAAAA111212122212,rrmnpqsrsssrAAAAAAAAAAA111212122212,rrmnpqsrsssrBBBBBBBBBBB对应的子块有相同的行数和列数,则()pqpqABAB111212122212,rrmlpksrsssrAAAAAAAAAAA111212122212,ttlnkqrtrrrtBBBBBBBBBBB的行数与其中pkAkqB的列数相同，则1122()()()pkkqpqpqprrqstCABABABABAB例设1013120001242000,0010631000010201AB用分块矩阵计算kA,AB,AB解:,ICDOABOIFI例设11121212221212(,,,)nnmnnmmmnaaaaaaaaaAAAA1210000100(,,,),00100001nnI则1212(,,,)(,,,)nnnAIAAAA12(,,,)nAAAA可见(1,2,,)iiinAA例将A,x分块为1112111121222212121rrnrrnmmmrmrmnaaaaaaaaaaaaaaaA=12AA121rrnxxxxxx12,xx则11211222xAxAAAxAxx例设矩阵A分块为111212122212,rrsssrAAAAAAAAAA则TTT11211TTTT12222TTT12,ssrrsrAAAAAAAAAA形如1122ssAAA其中qqA都是方阵，称为对角分块矩阵.同结构的对角分块矩阵的和、积仍是对角分块矩阵.形如11121222ssssAAAAAA其中qqA都是方阵，分别称为上同结构的上(下)三角形分块矩阵的和、积仍是上(下)三角形分块矩阵11212212ssssAAAAAA的分块方阵，三角形分块矩阵，和三角形分块方阵.§2.4逆矩阵.,,22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay112211(),,.ijnnnnnnxyxyaxy其中AXY机动目录上页下页返回结束线性变化的矩阵形式,AXY逆矩阵引例：,0ijaA若.,,22112222121212121111nnnnnnnnnnybybybxybybybxybybybx)(ijbB机动目录上页下页返回结束线性变化的逆变化,BYX逆矩阵引例：AX)(BYA,)(YABX)(AXB,)(XBA其中则同理BAAB.nI所以YBY定义2.7对于n阶方阵A，若存在一个n阶方阵B,使得AB=BA=I则称A为可逆阵,B为A的逆矩阵，记作B=．唯一性:如果A为可逆阵，则其逆矩阵是唯一的.若B,C都是A的逆矩阵,则AB=BA=I，AC=CA=I于是B=BI1A机动目录上页下页返回结束=B(AC)=(BA)C=IC=C.机动目录上页下页返回结束1AB=I,BA=I,AB定义2.8若n阶矩阵A的行列式||0,A则称A是非奇异的.上面的矩阵A,B都是非奇异的.97:7,12,16(1,3,5),21,23,31(3),p定义2.9由行列式||||ijaA的元素ija的代数余子式(,1,2,,)ijAijn所构成的矩阵1121112222*12nnnnnnAAAAAAAAAA称为矩阵A的伴随矩阵.例1.求矩阵101010125A=的伴随矩阵*A定理2.1n阶矩阵()ijaA可逆的充要条件是A非奇异，且当A可逆时1*1||AAA其中*A是A的伴随矩阵.例2判断矩阵101210325A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵.例31122000000nnaaaA设其中0,1,2,,iain证明：11122100100100nnaaaA例10解：因.3431223211AA的逆矩阵求矩阵得机动目录上页下页返回结束;2,3,2131211AAA,02343122321A;2,6,6232221AAA,2,5,4333231AAA,222563462A所以.11125323231AAA11推论若n阶矩阵A与B满足：AB=I或BA=I则A与B均可逆,且B=A-1,A=B-1.=A-1I证：由AB=I可知|A||B|=1，于是因此，A与B均可逆.故|A|≠0，且|B|≠0,B=IB同理可证A=B-1.机动目录上页下页返回结束=(A-1A)B=A-1(AB)=A-1例4.设n阶矩阵A满足2abcAAIO(a,b,c为常数且0),c证明A可逆，并求1A逆矩阵的性质：（1）若A可逆则A-1也可逆,且(A-1)-1=A.（3）若A,B都可逆则AB也可逆，且.)(111ABAB（2）若A可逆则kA也可逆，且)0.(1)(11kAkkATTAA)(1（4）若A可逆则也可逆，且-1TT=(AA)=I=I.TA.)()(11TTAA（5）若A可逆则.111AAA机动目录上页下页返回结束)(11ABAB-1-1-1=A(BB)A=AA=I.例5.设A，B，C为同阶矩阵，且A可逆，证明下列结论中(1),(3)成立，举例说明(2),(4)不必然成立.(1)若AB=AC,则B=C.(2)若CB=AB,则C=A.(3)其中AB=O,则B=O.(4)若BC=O,则C=O.例6证明如果n阶矩阵A可逆，则伴随矩阵*A也可逆，且*1*11()|||||nAA,|AAA例7.分块矩阵ACDOB其中A，B分别是r阶与k阶可逆矩阵,C是rk矩阵，O是kr零矩阵，证明D可逆，并求1D97:34(2,4,5),37,41p例11解：若矩阵A与B均可逆，,130231,3512,343122321CBA求解矩阵方程AXB=C.机动目录上页下页返回结束,013512,02343122321BA因.11CBAXCAXB则所以矩阵A与B均可逆.例11解：,130231,3512,343122321CBA求解矩阵方程AXB=C.机动目录上页下页返回结束又11CBAX所以,111253232311A,25131B.41041012,331212321A231135.153B解:331212321A0104303211.判断下列矩阵是否可逆，若可逆求出其逆阵.0143