2.3.1 平面向量基本定理

2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理1.了解平面向量基本定理；2.了解平面内的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.（重点、难点）0（）向量aa与b共线,当时，0与同向，ba且是的倍;||b||a当时，0与反向，ba且是的倍;||b||a||当时，00b，且.||0bλ，使b=λa.⑴向量共线定理当且仅当有唯一一个实数ab⑵向量的加法：OBCAabOAaBbbaba平行四边形法则三角形法则共起点首尾相接思考：（1）向量是否可以用含有、的式子来表示呢？怎样表示？（2）若向量能够用、表示，这种表示是否唯一？请说明理由.a1e2ea1e2e12一个平面内的两个不共线的向量e、e与该平面内的任一向量a之间的关系.1e2ea1e2eOCABMNOCOMON,如图，111OMOAe,1122OCee,1122ae+e.即222ONOBe,a1e2eOCABMNa,OCOMON,如图111OMOAe,1122OCee,1122ae+e.即222ONOBe,1122+aee这说内1122就是平面任一向量a都可以表示成λe+λe的形式.如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1,λ2,使1122aee说明：①、是两个不共线的向量；②是平面内的任意向量；③λ1，λ2为实数，且唯一确定.平面向量基本定理a2e1e2e1ea我们把不共线向量，叫做这一平面内所有向量的一组基底，记为{，}.不共线向量有不同方向，它们的位置关系可以用夹角来表示.关于向量的夹角,我们规定:OAa,OBb,AOB(0180)作则0ab180,ab.显然，当时，与同向；当时与反向AOB已知两个非零向量.如图，叫做向量与的夹角.ab90ab,ab.如果与的夹角是，我们说与垂直记作1e2e1e2eababab和1212,3.例1：已知向量（如图），求作向量-2.5eeee作法:1e2eOA2..OACB作BC1e-2.51.O如图，任取一点23e1,2.5OAe作2,3.OBeOC就是求作的向量.2.ABCDM,ABaADbabMAMBMCMD例如图，的两条对角线相交于点且，，你能用、表示、、和吗？ABCDACABADabDBABADab在中，解：BACDMab利用加法法则或减法法则1ababMAAC22221ababMBDB22221abMCACMA2221abMDDBMB.222；；；BACDMab例3.已知A,B是l上任意两点，O是l外一点，求证：对直线l上任一点P，存在实数t，使关于基底{}的分解式为OPOA,OBOP(1t)OAtOB.POBAl解：根据平面向量基本定理，同一平面内任意向量都可以用两个不共线的向量表示，再由已知可得OPOAAPOAtAB()OAtOBOA，(1).OPtOAtOB即1OM(OAOB).2特别地，令t=,点M是AB的中点，则121.设是同一平面内的两个向量，则有()A.一定平行B.的模相等C.同一平面内的任一向量都有D.若不共线，则同一平面内的任一向量都有12e,e12aee(,R)12aee(,R)aaD12e,e12e,e12e,e2.已知不共线，且，若共线，则=.1212cab(,R)1cb与0,.()ABCDACaBDbABADab3.在中，设,则,用、来表示2ab2abBACDa,b1212122;;eeeeee4.如图，已知向量、，求作下列向量:(1)3(2)41e2e13e22eOP解：(1)14eOP（2）22e1232ee12这里不共线的向量e、e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底..12121122如果e、e是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、λ，可使a=λe+λe言论的花，开得愈大；行为的果子，结得愈小。——冰心