2.3.1 抛物线及其标准方程

2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程生活中存在着各种形式的抛物线抛物线的生活实例1.掌握抛物线的定义及标准方程.（重点）2.能求简单抛物线的方程.（重点、难点）我们知道,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，而且研究过它的顶点坐标、对称轴等问题.那么，抛物线是怎么定义的，方程是什么呢？探究点1抛物线的定义MHFElm思考：如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线.H是l上任意一点，经过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹.你能发现点M满足的几何条件吗？m抛物线的定义:在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.CM·Fl·H焦点d准线点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.明确了抛物线的定义，你能根据定义求出抛物线的标准方程吗？一条经过点F且垂直于l的直线想一想：定义中当直线l经过定点F，则点M的轨迹是什么?l·F······化简列式设点建系以过点F且垂直于直线l的直线为x轴,垂足为K.以FK的中点O为坐标原点建立直角坐标系xOy.xKyOFPMMFd,022ppFx则焦点的坐标为（，），准线的方程为．Ml···（x,y）设M（x，y）是抛物线上任意一点，H点M到l的距离为d．d由抛物线的定义，抛物线就是点的集合探究点2抛物线的标准方程FKp设（p＞0），两边平方,整理得xKyOFMl···（x,y）Hd2222ppxyx所以）0(22p＞pxy其中p为正常数，它的几何意义是:焦点到准线的距离．方程y2=2px（p＞0）表示焦点在x轴正半轴上的抛物线．022lppF::x焦点的坐标为（，），准线的方程为．若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你能根据上述办法求出它的标准方程吗？FMlN··yxFMlN··HFMlN··OFMlN··xHyO准线方程焦点坐标标准方程焦点位置图形四种抛物线及其它们的标准方程x轴的正半轴上x轴的负半轴上y轴的正半轴上y轴的负半轴上y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0))0,2(pF)0,2pF(-)2,0(pF)2,0(pF-2=px-2=px2=py2=py-....（1）若一次项的变量为X（或Y），则焦点就在X轴（或Y轴）上；如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？（2）一次项的系数的正负决定了开口方向即：焦点与一次项变量有关；正负决定开口方向！【总结提升】【例1】(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程．(2)已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程.【解析】(1)因为ｐ＝３，故抛物线的焦点坐标为，准线方程为）（0,23.23x(2)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且故所求抛物线的标准方程为x2=-8y.p2,p4,21.根据下列条件写出抛物线的标准方程.(1)焦点是（0，-3）；(2)准线是.2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程.(1)y=8x2；(2)x2+8y=0.12xx2=-12yy2=2x焦点，准线1(0,)32132y焦点，准线(0,2)2y【总结提升】(1)用待定系数法求抛物线标准方程,应先确定抛物线的形式，再求p值.(2)求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程.【变式练习】【例2】一种卫星接收天线的轴截面如图(1)所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.,即p=5.76.【解析】如图(2)，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合.设抛物线的标准方程是22(0),ypxp22.420.5p所以，所求抛物线的标准方程是,焦点坐标是（2.88，0）.211.52yx由已知条件可得，点A的坐标是（0.5，2.4），代入方程得xyOAB(2).F【变式练习】点M与点F（4,0）的距离比它到直线l：x+5=0的距离小1，则点M的轨迹方程为.．OFl-5-4xy．M2y16x【解题关键】看出M点与F的距离与它到直线：x+4=0的距离相等，然后根据抛物线的定义求出P，写出方程即可.4C2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A.12B.4C.6D.8C1.设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x3.(2016·四川高考)抛物线y2=4x的焦点坐标是()A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)D【解题指南】根据抛物线的标准方程求解.【解题提示】根据抛物线的定义求解.4.(2016·浙江高考)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.95．已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．【解析】设动点M(x，y)，设圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，所以＝3，所以p＝6.所以圆心M的轨迹方程是y2＝12x.2p抛物线定义标准方程求标准方程求焦点坐标求准线方程待定系数法将方程化为标准方程追赶时间的人，生活就会宠爱他；放弃时间的人，生活就会冷落他.