2.3.1-2.3.2 平面向量基本定理 平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示问题提出1.怎样理解向量的数乘运算λa？（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ0时，λa与a方向相同；λ0时，λa与a方向相反；λ=0时，λa=0.2.平面向量共线定理是什么？3.如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？GF1F2非零向量a与向量b共线存在唯一实数λ，使b＝λa.4.在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论.探究（一）：平面向量基本定理思考1：给定平面内任意两个向量e1，e2，如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？e1e22e2BCO3e1Ae1D3e1＋2e2e1-2e2思考2：如图，设OA，OB，OC为三条共点射线，P为OC上一点，能否在OA、OB上分别找一点M、N，使四边形OMPN为平行四边形？MNOABCP思考3：在下列两图中，向量不共线，能否在直线OA、OB上分别找一点M、N，使？OA,OB,OCOMONOCOABCMNOABCMN1122.aeeOABCMNOABCMN1122OM,ON.ee11221122OMe,ONe,aee思考5：若上述向量e1，e2，a都为定向量，且e1，e2不共线，则实数λ1，λ2是否存在？是否唯一？OABCMNOABCMN思考6：若向量a与e1或e2共线，a还能用λ1e1＋λ2e2表示吗？e1aa=λ1e1+0e2e2aa=0e1+λ2e2思考7：根据上述分析，平面内任一向量a都可以由这个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来，从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.思考8：上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示[0°，180°]思考1：不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量a和b，作a，b，如图.为了反映这两个向量的位置关系，称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？OAOBbaabABO思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？ba思考3：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？BaiOjAP232aij思考4：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示.那么x、y的几何意义如何？aixyOjxy思考5：相等向量的坐标必然相等，作向量a，则(x，y)，此时点A的坐标是什么？OAOAAaixyOjA(x,y)理论迁移例1如图，已知向量e1、e2，求作向量－2.5e1＋3e2.e1e2COA－2.5e1B3e2例2如图，写出向量a，b，c，d的坐标.2452abcd－4－2－5－2xyOa=(2,3)b=(-2,3)c=(-2,-3)d=(2,-3)ABADAMEF例3如图，在平行四边形ABCD中，=a，=b，E、M分别是AD、DC的中点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为基底分别表示向量和.2ABAC3ABEDCFM12AMab16EFab成功源于自律，一个人若没有果断的品质，他永远不能算是一个独立的人。——约翰·福斯特