7.5 函数展开成幂级数

第五节函数展开成幂级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数一、泰勒级数000()()()()().nnnfxaxxxIIfxIxx若，为区间，则称在上可展开成的幂级数问题:1.如果能展开,是什么?na2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?1.定义证明0()xuxnnxxaxxaaxf)()()(0010定理1如果函数)(xf在)(0xU内具有任意阶导数,且在)(0xU内能展开成)(0xx的幂级数,即nnnxxaxf)()(00则其系数),2,1,0()(!10)(nxfnann且展开式是唯一的.2.na的确定，展开式的唯一性)(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即得令,0xx),2,1,0()(!10)(nxfnann泰勒系数是唯一的,.)(的展开式是唯一的xf10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐项求导任意次,得泰勒系数如果)(xf在点0x处任意阶可导,则幂级数nnnxxnxf)(!)(000)(称为)(xf在点0x的泰勒级数.nnnxnf0)(!)0(称为)(xf在点00x的麦克劳林级数.定义3.泰勒级数4.泰勒级数基本问题（1）构造000()()()!nnnfxxxn（2）收敛域？（3）在收敛域I内，级数是否一定收敛到f(x)?nnnxxnxfxf)(!)(?)(000)(泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.即0,00,)(21xxexfx例如),2,1,0(0)0()(nfn且00)(nnxxf的麦氏级数为.0)(),(xs内和函数该级数在可见).()(,0xfxfx于的麦氏级数处处不收敛外除在x=0点任意可导,定理2)(xf在点0x的泰勒级数,在)(0xU内收敛于)(xf在)(0xU内0)(limxRnn.5.函数展开成幂级数的充分必要条件()nRx其中称为拉格朗日余项：11001()()()()(,)()nnnfRxxxxxn在之间＋！001()()()()()!nnnnfxfxxxRxn0()(-).fxxxn称为按的幂展开的带有拉格朗日余项的阶泰勒公式二、函数展开成幂级数1.直接法(泰勒级数法)步骤:;!)()1(0)(nxfann求30()lim,nnR讨论).(xf敛于则级数在收敛区间内收(2)按照泰勒公式写出幂级数，求出收敛半径；例1解.)(展开成幂级数将xexf,)()(xnexf),2,1,0(.1)0()(nfn21112!!xnexxxn),(!1!2112xxnxxenx1111|||||()|||()!()!nnxnexRxxenn11011||||||()!()!nnxnxxenn因有限，而是收敛级数的一般项，故101||||lim()!nxnxen，0lim|()|.nnRx即(,)x(,),x余项满足例2.sin)(的幂级数展开成将xxxf解),2sin()()(nxxfn,2sin)0()(nfn,0)0()2(nf,)1()0()12(nnf),2,1,0(n),(x)!12()1(!51!31sin1253nxxxxxnn),(x1121()sin[]|()|()!nnnRxxn21351113521sin()!!()!nnxxxxxn101||()()!nxnn(,),x余项满足2.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.例如211111()nxxxxx2,xx换成-2422111111()()nnxxxxxxxdxx021arctan12)1(51311253nxxxxnn]1,1[xxxdxx01)1ln(123111231()nnxxxxn]1,1(x)(sincosxx)!2()1(!41!211cos242nxxxxnn),(x)!12()1(!51!31sin1253nxxxxxnn0111()?nnn2ln例4111.()!xndenxdxxn将()展开成的幂级数,并求的和解),(!1!2112xxnxxenx211121231()!!!()!xnndennxxxdxxnn211111123!!!xnexxxxn111()()!nnnxxn011,()!nnxn2111()()xxdexedxxx1,x2111()xxex11111()!()!nnnnnxnn111.()!nnn11?()!nnn1111()()()!xnndenxxdxxn例512().fxxx将展开成的幂级数1112212(),fxxx2011111()nnnrrrrrr1112212xx1001222()nnnnnxx2112222()()nxxx解2xr令，22(-)x例6.)1ln()(2的幂级数展开成将xxxxf解111ln)(3xxxxf)1ln()1ln(3xx111111ln()()nnnxxxn3111111()()()()nnnnnnxxnn33111nnnnnnnxxxxnnn11x例7处展开成泰勒级数在将141)(xxxxf解).1()1()(nfx并求的幂级数展开成)1(3141xx,)311(31x])31()31(311[312nxxx31xxxxx41)1(41nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231x!)1()(nfn于是.3!)1()(nnnf故,31n作业习题7-5P239.2.(2,3)123.()().fxxx将函数展开成的幂级数