7.6函数的幂级数展开

§7.5函数的幂级数展开式通过上节的学习知道:任何一个幂级数在其收敛区间内,均可表示成一个函数(即和函数).20120nnnnnaxaaxaxax()SxxD本节要解决的问题是:给定函数f(x),能否在某个区间内展成幂级数.即能否找到幂级数,在某个区间内收敛,且其和函数就是给定的函数f(x).()fx20120nnnnnaxaaxaxax若能找到这样的幂级数,我们说,函数f(x)在该区间内能展成幂级数.将已知函数展开成幂级数,需解决以下两个问题：(2)函数ƒ(x)满足什么条件才能展开成幂级数?(1)如果函数可以展开成幂级数,应如何确定幂级数的系数?(0,1,)nan称此幂级数为该函数的幂级数展开式.0nnnax定义若一个函数ƒ(x)能表示成一个幂级数,一.泰勒级数0000(),()()(),nnnfxxfxxxfxaxx定理设在点的附近有任意阶导数且在处的幂级数展开式为则必有(0)00()0,01,()().1()!nnaffnxxxf其中！证明：2010200()()()()nnfxaaxxaxxaxx21120300()2()3()()nnfxaaxxaxxnaxx22300()232()(1)()nnfxaaxxnnaxx()()!nnfxna0xx将代入各阶导数得：00()fxa01()fxa02()2fxa()0()!nnfxna()0()!nnfxan0,1,2,n0000(),()()(),nnnfxxfxxxfxaxx定理设在点的附近有任意阶导数且在处的幂级数展开式为则必有(0)00()0,01,()().1()!nnaffnxxxf其中！注：此定理给出了在函数可以展成幂级数的前提下,求函数幂级数展开式的方法,还说明了幂级数展开式的唯一性.针对函数展成幂级数时所选择的点给出下面定义：0()()00000000(),()11()()()()()()!1!!nnnnnfxxfxfxxxfxxxfxxxnn定义设在点的附近有任意阶导数则称幂级数0()fxxx为在处的泰勒级数.()()00000000()11()()()()()()!1!!nnnnnfxfxxxfxxxfxxxnn00,x当时称()()01(0)1(0)(0)(0)!1!!nnnnnffxfxfxnn()fx为的马克劳林级数.()()0fxxafxx注1：若在点处能展成幂级数,则幂级数必为泰勒级数;若在点处能展成幂级数,则幂级数必为马克劳林级数;0(),()().fxxfxfx注2：定义表明：任给一个函数只要在点处有任意阶导数,就可以写出相应的泰勒级数或马克劳林级数,但在函数与级数之间并没有建立等式关系,这是因为的泰勒级数或马克劳林级数未必收敛,且收敛时也未必收敛于1(),1().fxxfx的马克劳林级数并讨论该级数在收敛域内是否收敛于例：求解：21()(1)fxx32()(1)fxx()11!()(1)(1)nnnnfxx(0)1f(0)1f()(0)!nfn()fx于是的马克劳林级数为()()01(0)1(0)(0)(0)!1!!nnnnnffxfxfxnn1nxx1(1,1)().1fxx易知该级数在内收敛于()fx()000()()!nnnfxxxn级数0()fxxx为在处的泰勒级数()0(0)!nnnfxn级数()fx为的马克劳林级数两个级数未必收敛于f(x).(2)函数ƒ(x)满足什么条件时,它的泰勒级数才能在收敛域内收敛于f(x)本身?二.泰勒公式0(),,fxxxx定理(泰勒中值定理)若在点的附近有n+1阶导数则对该邻域内任意有200000()00()()()()()()2!()()()()!nnnfxfxfxfxxxxxfxxxRxn(1)100(),()(),.(1)!nnnfRxxxxxn其中为拉格朗日型余项在与之间0()().fxxx式称为在处的泰勒公式0000()()()()(),nfxfxfxxxx注1：当时，式变在与间.为之().nRx即拉格朗日公式,所以泰勒公式是拉格朗日公式的推称为拉格朗广,相应余项日型余项的20()(1)10(0)20,()()(0)(0)2!(0)(),!(1)!nnnnfxfxffxxffxxxxnn注：当时式变为在与之间.().fx称为的马克劳林公式0(),()fxxxfx定理若在点的附近有任意阶导数则的泰勒级数lim()0nnRx，()000()()()!nnnfxxxfxn在该邻域内收敛于的充要条件是(1)100(),()(),.(1)!nnnfRxxxxxn其中在与之间()fx证明：的泰勒公式为200000()00()()()()()()2!()()()!nnnfxfxfxfxxxxxfxxxRxn思路1()()nnSxRx1()()()nnRxfxSxlim()0nnRx1lim()()nnfxSx1()lim()nnfxSx01lim()()nnSxfx()(),fxfx注：若的泰勒级数在收敛域内收敛于即等式()0000()()(),()!nnnfxfxxxfxxxn成立称右侧级数为在处的泰勒展开式；()0(0)(),()!nnnffxxfxn成立称右侧级数为的马克劳林展开式.()(),fxfx若的马克劳林级数在收敛域内收敛于即等式()fx泰勒级数泰勒公式泰勒展开式()fx泰勒级数泰勒公式泰勒展开式()fx()000()()!nnnfxxxn级数0()fxxx为在处的泰勒级数()0(0)!nnnfxn级数()fx为的马克劳林级数两个级数未必收敛于f(x).()20000000()()()()()()()()2!!nnnfxfxfxfxxxxxxxRxn0()fxxx为在处的泰勒公式()(1)21(0)(0)()(0)(0)2!!(1)!nnnnfffffxxxxnn()fx为的马克劳林公式()fx()fx三.初等函数的幂级数展开式计算步骤为:()01.()(),(),,(),,().nfxfxfxfxxxfx求出的各阶导数如果在处的某阶导数不存在,停止进行.此时不能展成幂级数0()00002.()()(),(),,(),.nfxxxfxfxfxfx求出的各阶导数在处的值：，3.()fx写出的泰勒级数()000()(),.!nnnfxxxn并求出收敛半径R和收敛域4.(,),lim()0?0,()nnxRRRxfx考查当时若余项极限为则在收敛域内的幂级数展开式为()000()()(),.!nnnfxfxxxxn收敛域()0()!nnfxan1.直接展开法利用式计算展开式的方法称为直接展开法.()xfxe例：求的马克劳林展开式.解：()1.()()()nxfxfxfxe()02.(0)(0)(0)1nfffe3.()xfxe的马克劳林级数为()0(0)!nnnfxn0!nnxn收敛半径为R,=+收敛域为(-,+).4.()nRx(1)1()(1)!nnfxn1(1)!nexn0!nnxn收敛,10(1)!nnxn收敛.1,lim(1)!nnxn于是=0,1lim()lim0.(1)!nnnneRxxn所以()xfxe因此0!nnxn21.2!!nxxxn.xR3521111sin(1),3!5!(21)!nnxxxxxxRn()sinfxx例：求的马克劳林展开式.解：()1.()sin()2nfxxn()2.(0)nf3.()sinfxx的马克劳林级数为()0(0)!nnnfxn210(1)(21)!nnnxn收敛半径为R,=+收敛域为(-,+).sin()2n2nm021nm(1)m0!nxnxen21.2!!nxxxn.xR3521111sin(1),3!5!(21)!nnxxxxxxRn211,(1,1)1nxxxxx2.间接展开法242111cossin1(1),2!4!(2)!nnxxxxxxRn11x11()x21(1),(1,1)nnxxxx211x2421(1),(1,1)nnxxxxln(1)x011xdxx00(1)xnnnxdx00(1)xnnnxdx10(1)1nnnxn12311(1),(1,1]23nnxxxxxn11(1)nnnxn13x211,3333nxxx11313x(3,3)x----马克劳林级数1(1)()6fxx例将f(x)展为x-2的幂级数.1164(2)xx解因112414x01(11)1nnxxx而2(11)4x1011(2)(26)644nnnxxx故0112644nnxx于是（）----x=2点的泰勒级数(2)()xfxe例将f(x)展为x-1的幂级数.11xxee解因1xee201,!2!!nnxnxxxexxRnn而1xxeee0(1),1!nnxexRn0(1),!nnexxRn2(1)()1xfxx练将f(x)展为x的幂级数.221()11xfxxxx解因01(11),1nnxxx而21()1fxxx20()(11),nnxxx20(1)(11),nnnxx211()2(2)(1)fxxxxx解因111312xx（）1111[]31212xx（）01(11),1nnxxx而01()(22)212nnxxx于是0011()[()]322nnnnxfxx所以1011[1(1)](11)32nnnnxx21(2)()2fxxx练将f(x)展为x的幂级数.(3)()ln(1)fxx练将f(x)展为x-2的幂级数.()ln(1)ln(32)fxxx解因2ln3(1)3x2ln3ln(1)3x01(1)(11),1nnnxxx而ln(1)x所以10(1)1nnnxn(11],x112(1)2ln(1)33nnnxxn于是11(1)23nnnnxnln(1)x11(1)nnnxn11(1)ln323nnnnxn作业：21（3，11）22（2，3）