7.7常系数齐次线性微分方程

常系数第七节齐次线性微分方程基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化第七章一、定义二阶常系数齐次线性方程：)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程：二阶齐次线性方程：0)()(yxQyxPy如何求解0qyypy其中p,q为常数二阶变系数齐次线性微分方程其中p,q不全为常数0qyypy二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法0qyypy(1)由上节讨论可知,可先求出微分方程(1)的它的两个线性无关的特解y1,y2，那么c1y1+c2y2就是微分方程(1)的通解当r为常数时，指数函数y=erx和它的各阶导数都只相差一个常数因子.由于指数函数有这个特点，因此我们用y=erx来尝试看是否选取适当的r,使y=erx满足方程(1).,rxey设0)(2rxeqprr,0rxerxrxeryrey2,代入微分方程(1)，得02qprr故有特征方程(2),2422,1qppr方程(2)的特征根(1)特征方程有两个不相等的实根,2421qppr,2422qppr,11xrey,22xrey两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为042qp常数，xrrxrxreeeyy)(121212xrxreCeCy212102qprr(2)特征方程有两个相等的实根,11xrey,221prr一特解为特征根为042qp求另一特解,要求,)(12xrexuy)(12xuyy)(121urueyxr)2(21121ururueyxr设另一特解为则代入原方程并化简，，，将222yyy,0)()2(1211uqprrupru,12xrxey则,0u知0])()2[(12111quurupururuexr于是且因此的二重根，是特征方程由于,02,0)2(11211prqprrr因为这里只要得到一个不为常数的解，所以不妨选取的另一个解由此得到微分方程)1(xu从而微分方程(1)的通解为xrexCCy1)(21(3)特征方程有一对共轭复根,1ir,2ir,)(1xiey,)(2xiey特征根为042qp)sin(cos)(1xixeeeeyxxixxi)sin(cos)(2xixeeeeyxxixxisincosiei欧拉公式两个复数值特解为)(21211yyy,cosxex)(21212yyiy,sinxex重新组合得到微分方程的新特解不是常数，且xyycot21所以,微分方程(1)的通解为)sincos(21xCxCeyx二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.特征根的情况通解的表达式实根21rr实根21rr复根ir2,1xrxreCeCy2121xrexCCy2)(21)sincos(21xCxCeyx解：特征方程为：,0442rr解得：,221rr故所求通解为.)(221xexCCy.044的通解求方程yyy例1.052的通解求方程yyy解：特征方程为,0522rr解得1212,ri，故所求通解为：).2sin2cos(21xCxCeyx例2例3.求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解:特征方程0122rr有重根,121rr因此原方程的通解为ttCCse)(21利用初始条件得,41C于是所求初值问题的解为22Cn阶常系数齐次线性方程解法01)1(1)(yPyPyPynnnn特征方程为：0111nnnnPrPrPr特征方程的根通解中的对应项kr若是重根rxkkexCxCC)(1110jk复根重共轭若是xkkkkexxDxDDxxCxCC]sin)(cos)[(11101110注意：n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.nnyCyCyCy2211例4.的通解.解:特征方程,052234rrr特征根:i21,04,321rrr因此原方程通解为xCCy21)2sin2cos(e43xCxCx02)(22222rr.)0(0dd444wxw解方程解:特征方程:即0)2)(2(2222rrrr其根为),i1(22,1r)i1(24,3r方程通解:xw2e)2sin2cos(21xCxCx2e)2sin2cos(43xCxC例5.123451,,rrrirri故通解为：12345()cos()sinxyCeCCxxCCxx解：,01222345rrrrr特征方程为22(1)(1)0rr即(5)(4)(3)220.yyyyyy求方程的通解1、思考与练习2、求方程的通解.答案::0a通解为xCCy21:0a通解为xaCxaCysincos21:0a通解为xaxaCCyee21第八节3、为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解:根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为2)1(r0)4(2r即04852234rrrr故所求方程为其通解为1.二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.特征根的情况通解的表达式实根21rr实根21rr复根ir2,1xrxreCeCy2121xrexCCy2)(21)sincos(21xCxCeyx小结2.n阶常系数齐次线性方程解法01)1(1)(yPyPyPynnnn特征方程为：0111nnnnPrPrPr特征方程的根通解中的对应项rk重根若是rxkkexCxCC)(1110jk复根重共轭若是xkkkkexxDxDDxxCxCC]sin)(cos)[(11101110预习第8节作业P3401（偶).2(奇)