大物习题答案第4章 机械振动分析

第4章机械振动4.1基本要求1．掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的相互关系2．掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐振动规律的讨论和分析3．掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义4．理解同方向、同频率简谐振动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐振动合成的特点4.2基本概念1．简谐振动离开平衡位置的位移按余弦函数（或正弦函数）规律随时间变化的运动称为简谐振动。简谐振动的运动方程cos()xAt2．振幅A作简谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值。3．周期T作简谐振动的物体完成一次全振动所需的时间。4．频率单位时间内完成的振动次数，周期与频率互为倒数，即1T5．圆频率作简谐振动的物体在2秒内完成振动的次数，它与频率的关系为22T6．相位和初相位简谐振动的运动方程中t项称为相位，它决定着作简谐振动的物体状态；t=0时的相位称为初相位7．简谐振动的能量作简谐振动的系统具有动能和势能。弹性势能222p11cos()22EkxkAt动能22222k111sin()sin()222EmmAtmAtv弹簧振子系统的机械能为222kp1122EEEmAkA8．阻尼振动振动系统因受阻尼力作用，振幅不断减小。9．受迫振动系统在周期性外力作用下的振动。周期性外力称为驱动力。10．共振驱动力的角频率为某一值时，受迫振动的振幅达到极大值的现象。4.3基本规律1．一个孤立的简谐振动系统的能量是守恒的物体做简谐振动时，其动能和势能都随时间做周期性变化，位移最大时，势能达到最大值，动能为零；物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，但其总机械能却保持不变，且机械能与振幅的平方成正比。图4.1表示了弹簧振子的动能和势能随时间的变化（0）。为了便于将此变化与位移随时间的变化相比较，在下面画了x-t曲线，由图可以看出，动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。2．简谐振动的合成若一个质点同时参与了两个同方向、同频率的简谐振动，即111cos()xAt222cos()xAt合振动仍是一个角频率为的简谐振动。合位移12cos()xxxAt图4.1弹簧振子的动能和势能随时间的变化EpEOOxkE212EkAtt合振动的振幅221212212cos()AAAAA合振动的初相11221122sinsintancoscosAAAA振动加强：212πk，(012,)k，，12AAA振动减弱：21(21)πk，(1,2,3)k12AAA当21取其他值时1212AAAAA若两个振动同方向，但不同频率，则合成振动不再是周期振动，而是振幅随时间周期性变化的振动。若两振动的振动方向相互垂直，频率相同。一般情况下，合成振动轨迹为一椭圆。若两个相互垂直的振动频率不相同，且为简单比关系，则其合成振动的轨迹为封闭的曲线，曲线的具体形状取决于两个振动的频率比。若两频率比为无理数，则合成运动轨迹永不封闭。4.4学习指导1．重点解析简谐振动的运动学问题是本章的重点内容之一，主要有以下两种类型：（1）已知简谐振动表达式求有关物理量（2）已知运动情况或振动曲线建立简谐振动表达式对于类型（1）主要采用比较法，就是把已知的振动表达式与简谐振动的一般表达式cos()xAt加以比较，结合有关公式求得各物理量。对于类型（2）的解题方法，一般是根据题给的条件，求出描述简谐振动的三个特征量A、、,然后将这些量代入简谐振动的一般式，就得到要求的运动表达式。其中角频率由系统的性质决定,2km.振幅A可由初始条件求出，2200vAx；或从振动曲线上直接看出。图4-3图4-2初相有两种解法，一是解析法，即从初始条件得到00tanvx,这里有两个值，必须根据条件去掉一个不合理的值；另一是旋转矢量法，正确画出振幅矢量图，这是求初相最简便且直观的方法。例如图4-2所示为某质点作简谐振动的曲线。求该质点的振动方程。分析：若要求质点的振动方程，必须求出三个特征量A、、。利用振动曲线可以看出2410Am，t=0时刻，质点位移022xA，t=0.5s时，x=0。利用这些信息可以确定、。解：方法1解析法t=0时，022xA，于是有02cos2xAA解得：34由t=0时刻对应的曲线斜率0dxdt可知，所以质点速度00v，即：0sin0vA所以34为求，先写出质点振动方程23410cos()4xtm将t=0.5s，x=0代入上式得3cos()024，同样结合该点的速度方向可以得到2，所以质点的振动方程是23410cos()24xtm方法2：旋转矢量法图4-4由振动曲线可知，t=0时刻，质点位移022xA，质点速度00v，对应的旋转矢量如图4-3所示，由图可知34。t=0.5s时，x=0，0v。此运动状态对应矢量OP，即旋转矢量由t=0时的OM经0.5s转至OP，共转了4，1140.52radsrads质点的振动方程是23410cos()24xtm2．难点释疑疑难点1旋转矢量自Ox轴的原点O作一矢量A，使它的模等于振动的振幅A，并使矢量A在Oxy平面内绕点O作逆时针方向的匀角速转动，其角速度与振动的角频率相等，这个矢量就叫做旋转矢量。如图4-4所示。旋转矢量A的矢端在Ox轴上的投影点的运动，可表示物体在Ox轴上的简谐振动。旋转矢量A与简谐振动的物理量之间的对应关系如表4-1所示。表4-1旋转矢量A与简谐振动的物理量之间的对应关系旋转矢量是研究简谐振动的一种比较直观的方法，可以使运动的各个物理量表现得直观，运动过程显示得清晰，有助于简化简谐振动讨论中的数学处理。但必须指出，旋转矢量本身并不在作简谐振动，而是旋转矢量端点的投影点在作简谐振动。图4-5问题：简谐振子从平衡位置运动到最远点所需的时间为4T吗？走过该距离的一半所需的时间是8T吗？振子从平衡位置出发经历8T时运动的位移是多少？解析从平衡位置运动到最远点对应旋转矢量图4-5中的角度变化是2，所需的时间24Tt振子的速度sin()vAt不是常数，振子做变速直线运动，所以走过该距离的一半所需的时间不是8T。振子从平衡位置运动到2A处（OM位置）时，振幅矢量转过了6的角度，即612Tt即振子从平衡位置运动到2A所用的时间是12T，而不是8T。振子从2A运动到平衡位置所用的时间是36Tt。振子从平衡位置出发经历8T时运动的位移是2cos()cos()8242TxAAA疑难点2当一个弹簧振子的振幅加倍时，则振动周期、最大速度、质点受力最大值和振动能量如何变化？解析弹簧振子的振幅一般由初始条件确定。振幅加倍时，振动周期不变，因为对于给定的弹簧振子系统其周期是一定的，即2mTk；最大速度的表达式是A，所以振幅加倍时最大速度也加倍，质点受力最大值为f=kA，所以振幅加倍时受力最大值也加倍；简谐振动系统中机械能守恒为212EkA，所以振幅加倍时振动能量变为原来4倍4.5习题解答4.1两根轻弹簧和一质量为m的物体组成一振动系统,弹簧的劲度系数为k1和k2,串联后与物体相接,则此系统的固有频率为等于[](A)2//)(21mkkk1k2习题4.1图m(B)1212/[()]2kkkkm(C)2)/(21kkm(D)1212()/()/(2)kkkkm解析：正确答案（B）两弹簧k1和k2串联后可等效为劲度系数k的弹簧，设k1和k2的形变量分别为Δx1和Δx2，k的形变量为Δx，则有Δx＝Δx1+Δx2，亦即12111kkk1212kkkkk据此可确定系统的固有频率为12121/[()]22kkkkkmm4.2把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为［］(A)π(B)π/2(C)0(D)θ解析：正确答案（C）由已知条件可知其初始时刻的位移正向最大。利用旋转矢量图可知，初相相位是0。选（C）4.3用余弦函数描述一简谐振动。已知振幅为A，周期为T，初相3，则振动曲线为［］习题4.3图解析：正确答案（A）由已知条件可知：初始时刻振动的位移是cos()32AyA，速度是3sin()2vAtA，方向是向y轴正方向，则振动曲线上t=0时刻的斜率是正值。4.4已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒。则此简谐振动的振动方程为：[]（A）222cos()33xtcm（B）222cos()33xtcm（C）422cos()33xtcm（D）422cos()33xtcm解析：正确答案（D）由振动图像可知，初始时刻质点的位移是2A，且向y轴负方向运动，下图是其对应的旋转矢量图，由图可知，其初相位是23，振动曲线上给出了质点从2A到A的时间是1s，其对应的相位从23变化到2，所以它的角速度11224313radsrads。简谐振动的振动方程为422cos()33xt4.5质点作简谐振动，已知振动周期为T，则其振动动能变化的周期是[](A)T/4(B)T/2(C)T(D)2T解析：正确答案（B）质点作简谐振动的动能表达式是222k1sin()2EmAt，可见其变化的周期是简谐振动周期的12。4.6设某人一条腿的质量为m，长为l，当他以一定频率行走时最舒适，试用一习题4.4图2343/xcm0t3种简单的模型估算出该人行走最舒适的频率应为[]（A）12gl（B）1223gl（C）122gl（D）1322gl解析：正确答案（D）可以将人行走时腿的摆动当作复摆模型，这样人行走时最舒适的频率应是复摆的简谐振动频率。此人的一条腿可看成是一个质量为m，长为l的细长杆，它绕端点的转动惯量213Jml,根据复摆的周期公式2JTmgh，这里2lh。故频率1322gl4.7图中所画的是两个简谐振动的振动曲线。若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为［］（A）32（B）（C）12（D）0解析：正确答案（B）由振动曲线可知，这是两个同振动方向，同频率简谐振动，它们的相位差是，运动方程分别是1cos()2Axt和2cos()xAt，它们的振幅不同，对于这样两个简谐振动，可用旋转矢量法，很方便求得合运动方程是2cos()2Axt。4.8质点作谐振动，周期为T，当它由平衡位置向x轴负方向运动时，从－2A处到-A处这段路程所需要的时间为[]（A）4T（B）6T（C）8T（D）12T解析：正确答案（B）已知条件结合对应的旋转矢量图，它由平衡位置向x轴负方向运动时在－2A处对应的相位是23，位移是-A处对应的相位是，所以这段路程的相位差是13，习题4.7图对应的时间是326TT4.9弹簧振子作简谐振动，已知此振子势能的最大值为100J，当振子处于最大位移的一半时其动能为[]（A）25J（B）50J（C）75J（D）100J解析：正确答案（C）物体做简谐振动时，振子势能的表达式是2p12Ekx，其动能和势能都随时间做周期性变化，物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值；位移最大时，势能达到最大值2p12EkA，动能为零，但其总机械能却保持不变。当振子处于最大位移的一半时其势能为22p11'()228AEkkA，所以此时的动能是222k111331007528244EkAk