8-7方向导数和梯度

－理学院工科数学教学中心－《微积分》A哈尔滨工程大学微积分－理学院工科数学教学中心－－理学院工科数学教学中心－第八章多元函数微分学教学内容和基本要求理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域上连续函数的性质。理解偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的必要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。会求隐函数的偏导数和全导数。了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会解一些简单应用题。重点与难点重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概念，多元复合函数的求导法则，用拉格朗日条件极值求最大值应用问题，方向导数与梯度。难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。哈尔滨工程大学微积分－理学院工科数学教学中心－．引射线内有定义，自点的某一邻域在点设函数lPPUyxPyxfz00000)(),(),().(),(,0PUPlyyxxPlx上的另一点且为并设为的转角轴正向到射线设.),(0的变化率问题沿某一方向在一点讨论函数Pyxfz§8.7方向导数和梯度oyxlPy0P||0PP,)()(22yxx),,(),(yxfyyxxfz且哈尔滨工程大学微积分－理学院工科数学教学中心－.),(),(lim:.)()(,),(),(002200000yxfyyxxflflPPlPyxPPyxfyyxxf记为的方向导数方向沿个极限为函数在点时，极限存在，则称这趋于沿着之比值，当两点间距离与函数的增量定义1oyxlPy0P),(),(lim0是否存在？yxfyyxxf,lim0z考虑x时，趋于沿着当0PlP一、方向导数的定义哈尔滨工程大学微积分－理学院工科数学教学中心－定义2.设函数zf(x,y)在点P0(x0y0)的某一邻域U(P0)内有定义l是xOy平面上以P0(x0y0)为始点的一条射线与l同方向的单位向量为el(coscos)),()cos,cos(lim|000000yxfyxflfP为函数),(yxf在处0P沿方向的方向导数.loyxlPy0PxWhy？哈尔滨工程大学微积分－理学院工科数学教学中心－关于定义的说明1.函数f(x,y)在点P沿x轴正向和负向,沿y轴正向和负向的方向导数如何?结论:沿x轴正向时:xflf,0cos,1cosxflf,0cos,1cos沿x轴负向时:yflf,1cos,0cos沿y轴负向时:yflf,1cos,0cos沿y轴正向时:哈尔滨工程大学微积分－理学院工科数学教学中心－如果函数zf(x,y)在点P0(x0y0)可微分,那么函数在该点沿任一方向l(el(coscos))的方向导数都存在,且有:定理(方向导数的计算)cos),(cos),(0000),(00yxfyxflfyxyx),(),(yxfyyxxf量可表示为由于函数可微，则全增，得到两边同除以证明),(oyyfxxf哈尔滨工程大学微积分－理学院工科数学教学中心－coscos)(oyyfxxf),(),(yxfyyxxf),(),(lim0yxfyyxxf.coscosyfxflf所以oyxlPy0P哈尔滨工程大学微积分－理学院工科数学教学中心－,),,(),,(lim0zyxfzzyyxxflf的方向导数，可定义为沿着方向，它在空间一点对于三元函数),,(),,(lzyxPzyxfu).)()()((222zyx其中推广可得三元函数方向导数的定义哈尔滨工程大学微积分－理学院工科数学教学中心－.coscoscoszfyfxflf,cosx,cosy,cosz有的方向导数都存在，且任意方向那么函数在该点沿当函数在此点可微时，l,,方向的方向角为设l哈尔滨工程大学微积分－理学院工科数学教学中心－例1求函数yxz2e在点)0,1(P处沿从点)0,1(P到点)1,2(Q的方向的方向导数.解,1e)0,1(2)0,1(yxz,2e2)0,1(2)0,1(yxyz212211lz.22,}1,1{PQl即为这里方向;21cos,21cos哈尔滨工程大学微积分－理学院工科数学教学中心－例2求函数22),(yxyxyxf在点(1,1)沿与x轴正向夹角为方向的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数（1）最大值；（2）最小值；（3）等于零？解sin)1,1(cos)1,1()1,1(yxfflf,sin)2(cos)2()1,1()1,1(xyyxsincos),4sin(2哈尔滨工程大学微积分－理学院工科数学教学中心－（1）当4时，方向导数达到最大值2;（2）当45时，方向导数达到最小值2;（3）当43和47时，方向导数等于0.哈尔滨工程大学微积分－理学院工科数学教学中心－例3设n是曲面632222zyx在点)1,1,1(P处的指向外侧的法向量，求函数22861yxzu在此处沿方向n的方向导数.解令,632),,(222zyxzyxF,44PPxxF,66PPyyF,22PPzzFzyxFFFn,,,2,6,4,142264222n哈尔滨工程大学微积分－理学院工科数学教学中心－,142cos,143cos.141cosPPyxzxxu22866;146PPyxzyyu22868;148PPzyxzu22286.14PPzuyuxunu)coscoscos(.711哈尔滨工程大学微积分－理学院工科数学教学中心－1等值面和等值线使函数f(x,y,z)值等于常数c的点的全体组成的曲面,称为函数u=f(x,y,z)的等值面,它的方程是f(x,y,z)=c.当c取不同数值时就得到一系列等值面,称为等值面族，如气象学中的等温面、等压面等值面f(x,y,z)=c上任一点P(x,y,z)处的法向量为.,,,,zyxfffzfyfxf或三、梯度的概念哈尔滨工程大学微积分－理学院工科数学教学中心－图形及其等高线图形．函数xyzsin使函数u=f(x,y)等于c的全体点组成的曲线称为此函数的等值线,它的方程是f(x,y)=c,c取不同数值时得到的一系列等值线称为等值线族.哈尔滨工程大学微积分－理学院工科数学教学中心－方向导数公式coscoscoszfyfxflf令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值方向导数取最大值：,,fffGxyz0(cos,cos,cos)l,0方向一致时与当GlGlfmax:G2,方向导数:哈尔滨工程大学微积分－理学院工科数学教学中心－1.定义grad,f即同样可定义二元函数),(yxP称为函数f(P)在点P处的梯度zfyfxf,,记作在点处的梯度G说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量梯度方向的方向导数最大.哈尔滨工程大学微积分－理学院工科数学教学中心－),(yxfz在几何上表示一个曲面;曲面被平面所截得cz,),(czyxfz所得曲线在xOy面上投影如图Poyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高线),(gradyxf梯度为等高线上的法向量,方向指向函数的增加方向梯度的几何意义:哈尔滨工程大学微积分－理学院工科数学教学中心－例4求函数yxzyxu2332222在点)2,1,1(处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？解由梯度计算公式得kzujyuixuzyxu),,(grad,6)24()32(kzjyix故;1225)2,1,1(gradkjiu在)0,21,23(0P处梯度为0.哈尔滨工程大学微积分－理学院工科数学教学中心－