2018年高二数学：双曲线

第1页共29页高中数学：双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长第2页共29页1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)方程x2m－y2n＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()(5)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)与x2b2－y2a2＝1(a＞0，b＞0)的离心率分别是e1，e2，则1e21＋1e22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2．双曲线x23－y22＝1的焦距为()A．5B.5C．25D．1解析：选C由双曲线x23－y22＝1，易知c2＝3＋2＝5，所以c＝5，所以双曲线x23－y22＝1的焦距为25.3．(教材习题改编)以椭圆x24＋y23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为()A．x2－y23＝1B.x23－y2＝1C．x2－y22＝1D.x24－y23＝1解析：选A设要求的双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由椭圆x24＋y23＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x轴上的顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－y23＝1.4．(2017·北京高考)若双曲线x2－y2m＝1的离心率为3，则实数m＝________.解析：由已知可得a＝1，c＝1＋m，第3页共29页所以e＝ca＝1＋m＝3，解得m＝2.答案：25．设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.解析：由题意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.答案：176．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x2a2－y29＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝35x，则a＝________.解析：∵双曲线的标准方程为x2a2－y29＝1(a＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±3ax.又双曲线的一条渐近线方程为y＝35x，∴a＝5.答案：5考点一双曲线的标准方程基础送分型考点——自主练透[考什么·怎么考]高考对双曲线标准方程的考查主要有两个方面：一是根据题设条件求双曲线的标准方程；二是通过双曲线的标准方程求解双曲线的基本量，在选择题、填空题和解答题中均有体现，难度中等偏上.1．与椭圆x24＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.x24－y2＝1B.x22－y2＝1C.x23－y23＝1D．x2－y22＝1解析：选B法一：椭圆x24＋y2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，第4页共29页因为双曲线过点P(2,1)，所以4a2－1b2＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是x22－y2＝1.法二：设所求双曲线方程为x24－λ＋y21－λ＝1(1λ4)，将点P(2,1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线方程为x22－y2＝1.2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为()A.x24－y2＝1B．x2－y24＝1C.3x220－3y25＝1D.3x25－3y220＝1解析：选A由焦距为25，得c＝5.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以ba＝12.又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为x24－y2＝1.3．过双曲线C：x2a2－y2b2＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.x24－y212＝1B.x27－y29＝1C.x28－y28＝1D.x212－y24＝1解析：选A因为渐近线y＝bax与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且4－a2＋b2＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为x24－y212＝1.4．经过点P(3,27)，Q(－62，7)的双曲线的标准方程为____________．解析：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为所求双曲线经过点P(3,27)，Q(－62，7)，第5页共29页所以9m＋28n＝1，72m＋49n＝1，解得m＝－175，n＝125.故所求双曲线方程为y225－x275＝1.答案：y225－x275＝15．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线y24－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．解析：设所求双曲线的标准方程为y24－x2＝－λ(λ0)，即x2λ－y24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x25－y220＝1.答案：x25－y220＝1[怎样快解·准解]求双曲线标准方程的2种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．[注意]求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．(如第4题)考点二双曲线定义的应用重点保分型考点——师生共研双曲线定义的应用主要有两个考查方向：一是利用定义求双曲线的标准方程；二是利用双曲线上点P与两焦点的距离的差的绝对值||PF1|－|PF2||＝2a其中0＜2a＜|F1F2|与正弦定理、余弦定理结合，解决焦点三角形问题.高考对本考点的考查常以选择题、填空题的形式出现，难度中等.(一)直接考——利用双曲线的定义求轨迹方程1．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为()第6页共29页A.x24－y25＝1(y0)B.x24－y25＝1(x0)C.y24－x25＝1(y0)D.y24－x25＝1(x0)解析：选B由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为x2a2－y2b2＝1(x0，a0，b0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为x24－y25＝1(x0)．[注意]本题中“P到F1，F2的距离之差为4”而不是“P到F1，F2的距离之差的绝对值为4”，故P点的轨迹是双曲线的一支，而并非双曲线．(二)迁移考——焦点三角形问题2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于()A．2B．4C．6D．8解析：选B由双曲线的方程得a＝1，c＝2，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即(22)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4.3．设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝94ab，则该双曲线的离心率为________．解析：由题设条件得|PF1|＋|PF2|＝3b，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a，两个式子平方相减得|PF1|·|PF2|＝9b2－4a24，则9b2－4a24＝94ab，整理得(3b－4a)·(3b＋a)＝0，即ba＝43，所以e＝1＋ba2＝53.答案：53第7页共29页[解题师说]1．迁移要准看到与焦点三角形有关的问题想到双曲线的定义及余弦定理的应用．2．方法要熟(1)根据动点与两定点的距离的差的绝对值判断动点的轨迹是否为双曲线，进而根据条件求出双曲线的方程．(2)在焦点三角形中常利用余弦定理，结合双曲线的定义式||PF1|－|PF2||＝2a，建立|PF1|·|PF2|的联系．3．结论要记焦点三角形的特征，如图所示，设∠F1PF2＝θ.(1)△PF1F2的面积S＝12|PF1|·|PF2|·sinθ＝b2·sinθ1－cosθ＝b2tanθ2.(2)若焦点三角形PF1F2的内切圆与F1F2切于点Q，则点Q为双曲线的顶点．[冲关演练]1．已知双曲线x2－y224＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝43|PF2|，则△F1PF2的面积为()A．48B．24C．12D．6解析：选B由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝13|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝24.2．设双曲线x24－y22＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，第8页共29页B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为________．解析：由双曲线的标准方程为x24－y22＝1，得a＝2，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|，当AB是双曲线的通径时，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝2b2a＋8＝10.答案：10考点三双曲线几何性质的应用题点多变型考点——追根溯源双曲线几何性质是高考考查的热点，其中离心率和渐近线是双曲线的两个重要性质，解决此类问题的关键在于构造含有a，b，c的等式或不等式，一般以选择题或填空题形式考查，解答题不单独求解，穿插于其中，难度中等偏上.,常见的命题角度有：1求双曲线的离心率或范围；2求双曲线的渐近线方程；3求双曲线的方程.[题点全练]角度(一)求双曲线的离心率(或范围)1．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．解