2018年高二数学：抛物线

第1页共26页2018年高二数学：抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋p2|PF|＝－x0＋p2|PF|＝y0＋p2|PF|＝－y0＋p2第2页共26页1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()(4)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是x＝－a4.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．已知点F14，0，直线l：x＝－14，点B是l上的动点．若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线解析：选D由已知得|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．3．抛物线8x2＋y＝0的焦点坐标为________．解析：由8x2＋y＝0，得x2＝－18y.∴2p＝18，p＝116，∴焦点为0，－132.答案：0，－1324．焦点在直线2x＋y＋2＝0上的抛物线的标准方程为________．解析：当焦点在x轴上时，令方程2x＋y＋2＝0中的y＝0，得焦点为(－1,0)，故抛物线方程为y2＝－4x，当焦点在y轴上时，令方程2x＋y＋2＝0中的x＝0，得焦点为(0，－2)，故抛物线方程为x2＝－8y.答案：y2＝－4x或x2＝－8y5．(教材习题改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是________．解析：M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－116，设M(x，y)，则y＋116＝1，∴y＝1516.第3页共26页答案：1516考点一抛物线的标准方程基础送分型考点——自主练透[考什么·怎么考]高考要求考生掌握四种不同的抛物线的标准形式.高考试题的考查形式主要有两种：一是求抛物线的方程；二是根据抛物线的方程研究抛物线的几何性质，题型多为选择题、填空题，难度适中.1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－xB．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y解析：选D(待定系数法)设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为()A．(－1,0)B．(1,0)C．(0，－1)D．(0,1)解析：选B抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－p2，由题设知－p2＝－1，即p2＝1，所以焦点坐标为(1,0)．3．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝17，|AF|＝3，则此抛物线的标准方程为________________．解析：设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，A(x1，y1)，则F0，p2，M0，－p2，则x21＋y1＋p22＝17，x21＋y1－p22＝9，x21＝2py1，解得p＝4或p＝2.故所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝4y.答案：x2＝8y或x2＝4y4．(2017·天津高考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________________．第4页共26页解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a＞0)，则A(0，a)．又F(1,0)，所以AC―→＝(－1,0)，AF―→＝(1，－a)，由题意得AC―→与AF―→的夹角为120°，故cos120°＝－11×1＋－a2＝－12，解得a＝3，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝1.答案：(x＋1)2＋(y－3)2＝1[怎样快解·准解]求抛物线标准方程的方法(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数2p的关系．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．(3)焦点到准线的距离简称为焦准距，抛物线y2＝2px(p＞0)上的点常设为y22p，y.[注意]求抛物线的标准方程时，一定要先确定抛物线的焦点坐标，即抛物线标准方程的形式，否则极易发生漏解的情况．(如第1题)考点二抛物线的定义及其应用题点多变型考点——追根溯源错误![题点全练]角度(一)利用抛物线的定义解决最值、距离问题1．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为()A．(0,0)B.12，1C．(1，2)D．(2,2)解析：选D过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1第5页共26页和直线l2的距离之和的最小值是()A.355B．2C.115D．3解析：选B由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，故动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.3．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()A.5B．22C．23D．33解析：选C法一：由题意，得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝3(x－1)．由y＝3x－1，y2＝4x，得x＝13或x＝3.由M在x轴的上方，得M(3,23)，由MN⊥l，得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4.又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形，所以点M到直线NF的距离为4×32＝23.法二：依题意，得直线FM的倾斜角为60°，则|MN|＝|MF|＝21－cos60°＝4.又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形，所以点M到直线NF的距离为4×32＝23.[题型技法](1)涉及抛物线的焦点和准线的有关问题，应充分利用抛物线的定义求解．由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.第6页共26页角度(二)利用抛物线的定义处理焦点弦问题4．(2017·全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()A．16B．14C．12D．10[思维路径]要求|AB|＋|DE|的最小值，需用合适的变量表示|AB|＋|DE|，因为AB和DE均过焦点F，故考虑利用抛物线的定义，用点A，B和D，E的坐标表示|AB|和|DE|，然后利用函数或基本不等式求最值．解析：选A法一：抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－1k(x－1)，由y2＝4x，y＝kx－1消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝2k2＋4k2＝2＋4k2，由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝2＋4k2＋2＝4＋4k2.同理得|DE|＝4＋4k2，∴|AB|＋|DE|＝4＋4k2＋4＋4k2＝8＋41k2＋k2≥8＋8＝16，当且仅当1k2＝k2，即k＝±1时取等号，故|AB|＋|DE|的最小值为16.法二：如图所示，设直线AB的倾斜角为θ，过A，B分别作准线的垂线，垂足为A1，B1，则|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，过点F向AA1引垂线FG，得|AG||AF|＝|AF|－p|AF|＝cosθ，则|AF|＝p1－cosθ，同理|BF|＝p1＋cosθ，第7页共26页则|AB|＝|AF|＋|BF|＝2psin2θ，即|AB|＝4sin2θ，因为l1与l2垂直，故直线DE的倾斜角为θ＋π2或θ－π2，则|DE|＝4cos2θ，则|AB|＋|DE|＝4sin2θ＋4cos2θ＝4sin2θcos2θ＝412sin2θ2＝16sin22θ，则易知|AB|＋|DE|的最小值为16.[题型技法]1．灵活选用方法准解题定义法|AB|＝x1＋x2＋p斜率法|AB|＝1＋k2k2×2p(k为AB的斜率)倾斜角法|AB|＝2psin2θ(θ为AB的倾斜角)2．谨记二级结论快解题如图所示，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．①y1y2＝－p2，x1x2＝p24.②|AF|＝p1－cosθ，|BF|＝p1＋cosθ(θ为AB的倾斜角)．③1|AF|＋1|BF|为定值2p.④焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝p22sinθ＝12|AB||d|＝12|OF|·|y1－y2|.⑤以AB为直径的圆与准线相切．⑥以AF或BF为直径的圆与y轴相切．⑦过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．[冲关演练]1．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线第8页共26页交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.解析：法一：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b0)，所以a＝1，b＝22，所以N(0,42)，|FN|＝4＋32＝6.法二：如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2.∵点M为FN的中点，PM∥OF，∴|MP|＝12|FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.答案：62．已知过抛物线y2＝2px(p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC―→＝OA―→＋λOB―→，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB的方程为y＝22x－p2，与y2＝2px联立，消去y得4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝5p4.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝5p4＋p＝9，所以p＝4，从而该抛物线的方