转动惯量的计算

J与质量大小、质量分布、转轴位置有关演示程序：影响刚体转动惯量的因素2iirmJmrJd2•质量离散分布的刚体•质量连续分布的刚体dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：lmdd质量为线分布smdd质量为面分布Vmdd质量为体分布5.3定轴转动的转动惯量例题1求质量为m，长为l的均匀细棒对下面转轴的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并和棒垂直；(2)转轴通过棒的一端并和棒垂直。OAdxxlmrJd212dd322220lxxmrJll有ml将代入上式，得：20121mlJ解：(1)在棒上离轴x处，取一长度元dx（如图所示），如果棒的质量线密度为，则长度元的质量为dm=dx，根据转动惯量计算公式：（2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时OAldxx222001dd3lJrmxxml例题2）半径为R的质量均匀分布的细圆环，质量均为m，试分别求出对通过质心并与环面垂直的转轴的转动惯量。Rdl例题3求质量为m、半径为R、厚为h的均质圆盘对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。mrJdd2dm为薄圆环的质量。以表示圆盘的质量体密度rrhVmd2dd解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取任一半径为r，宽度为dr的薄圆环，此薄圆环的转动惯量为hRrhrJJR40321d2dhRm2代入得221mRJJ与h无关rhrJd2d3一个质量为m、半径为R的实心圆柱体对其中心轴的转动惯量也与上述结果相同。例4）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。解：一球绕Z轴旋转，离球心Z高处切一厚为dz的薄圆盘。其半径为22ZRrdZZRdZrdV)(222dZZRdVdm)(22dZZRdmrdJ2222)(2121其体积：其质量：其转动惯量：YXZORrdZZdmrdJ2212552158mRR334RmdJJRRdZZR222)(21dZZR222)(21（2）薄板的正交轴定理yxzJJJyxzo（1）平行轴定理2mdJJCDdJCJDC常见刚体的转动惯量2mrJ2/2mrJ2/)(2221rrmJ2/2mrJ2/2mrJ12/2mlJ5/22mrJ3/22mrJ解:受力分析取任一状态,由转动定律JmglMsin21外231mlJsin23lg例题1一长为l,质量为m的匀质细杆竖直放置,其下端与一固定铰链o相连,并可绕其转动.当其受到微小扰动时,细杆将在重力的作用下由静止开始绕铰链o转动.试计算细杆转到与铅直线呈角时的角加速度和角速度.Po)cos1(23lg00dsin23dlgsin23ddddddlgttdsin23dlg初始条件为：=0，=0例题2一个质量为M，半径为R的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落h高度时的速度和此时滑轮的角速度。MmgahROT2T1221MRJRT对物体m，由牛顿第二定律，maTmg滑轮和物体的运动学关系为Ra解：对定滑轮M，由转动定律，对于轴O，有物体下落高度h时的速度Mmmghahv242这时滑轮转动的角速度RMmmghRv24gMmma2以上三式联立，可得物体下落的加速度为CmafF圆柱对质心的转动定律：CJRflF纯滚动条件为：RaC圆柱对质心的转动惯量为：221mRJC例题3一质量为m、半径为R的均质圆柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。lFacf解：设静摩擦力f的方向如图所示，则由质心运动方程联立以上四式，解得：mRlRFaC3)(2FRlRf32由此可见，静摩擦力向前。时，当02fRl，静摩擦力向后；时，当02fRl例一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的作用,同时又引起一阻力矩M1，M1与刚体转动的角速度成正比,即|M1|=a(Nm),(a为常数)。又已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度变化的规律。M+M0M1已知：M0M1=–aJ|t=0=0求：（t）=？解：1）以刚体为研究对象；2）分析受力矩3）建立轴的正方向；4）列方程：JMM10JM+M0M1=–a解：4）列方程：JMM10JMM10JaM0JaMdtd0JdtaMd0tJdtaMd000JtMaMa)(ln100JateMaM00分离变量：例）设一细杆的质量为m，长为L，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：1）当杆与铅直方向成角时的角加速度：2）当杆过铅直位置时的角速度：3)当杆过铅直位置时，轴作用于杆上的力。已知：m，L求：，，N解：1）以杆为研究对象受力：mg，N（不产生对轴的力矩）建立OXYZ坐标系ZNmgYXOLM建立OXYZ坐标系（并以Z轴为转动量的正方向）sin2LmgMsin2331sin2LgmLmgJM231mLJZmgYXON)1(故取正值。Fr沿Z轴正向，rLg2/32/00则则L2）=？dtddddtd)2sin(23LgdLgdcos23两边积分：dLgdcos232/00sin23LgZmgYXONrdd2）=？3）求N=？轴对杆的力，不影响到杆的转动，但影响质心的运动，故考虑用质心运动定理来解。ZmgYXONrdLgcos232/00dLgLg23sin23212/02Lg3ZNXNyNNmgCXamgNNYNX3）求N=？CamgmNCXXmaNCYYmamgN写成分量式：CYXONCYaCCa求N，就得求，即C点的加速度，现在C点作圆周运动，可分为切向加速度和法向加速度但对一点来说，只有一个加速度。故这时：CXaCYa….实际上正是质心的转动的切向加速度….实际上正是质心的转动的法向加速度RaCX2RaCYLg300sin232LgL232LgL23gZNmgCXaYXONCYaC由角量和线量的关系:CXXmaNCYYmamgNsin23Lg)1(CXXmaN)2(CYYmamgN0CXa23gaCY代入(1)、（2）式中：0CXXmaNCYYmamgNjmgNˆ25ZNmgCXaYXONCYaCmggmmg2523