名师导学2017届高考数学一轮总复习第五章数列第29讲数列的概念与通项公式课件文

第五章数列第29讲数列的概念与通项公式【学习目标】1.理解数列的概念，能用函数的观点认识数列，了解数列的通项公式和递推关系式的意义.2.理解数列前n项和的含义，掌握an与Sn的基本关系，并能准确运用.3.培养学生的观察能力与归纳思想.【基础检测】1.数列1，－58，715，－924，…的一个通项公式是()A.an＝(－1)n＋12n－1n2＋n(n∈N＋)B.an＝(－1)n－12n－1n2＋3n(n∈N＋)C.an＝(－1)n＋12n－1n2＋2n(n∈N＋)D.an＝(－1)n－12n＋1n2＋2n(n∈N＋)D【解析】原数列中的数符号一正一负，故为摆动数列，乘－1n－1，取绝对值后通过观察得2n＋1n＋12－1，∴an＝－1n－12n＋1n＋12－1＝－1n－12n＋1n2＋2nn∈N＋，故选D.2.若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＝an－1an－2(n≥3且n∈N*)，则a17＝()A.1B.2C.12D.2－987【解析】由已知得a1＝1，a2＝2，a3＝2，a4＝1，a5＝12，a6＝12，a7＝1，a8＝2，a9＝2，a10＝1，a11＝12，a12＝12，即数列{an}是以6为周期的周期数列，故a17＝a2×6＋5＝12.C3.设an＝－3n2＋8n－1，则数列{an}中的最大项的值是()A.133B.4C.3D.163B【解析】∵an＝－3n－432＋133，且n∈Z，∴当n＝1时，an取最大值，即最大值为a1＝4.4.已知数列an的前n项和为Sn，且2an＝Sn＋2，则an＝____.【解析】当n＝1时，2a1＝a1＋2，即a1＝2；当n≥2时，由2an＝Sn＋2，得2an－1＝Sn－1＋2，两式相减，得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1；即an为等比数列，其通项公式为an＝2n.2n【知识要点】1．通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的____．2．递推公式如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)或an＝f(an－1，an－2)，那么这个式子叫做数列{an}的．通项公式递推公式3．数列通项an与前n项和Sn的关系(1)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝ai.(2)an＝4．数列的两个性质(1)单调性——若an＋1an，则{an}为；若an＋1an，则{an}为．(2)周期性——若an＋k＝an(n∈N*，k为非零常数)，则{an}为，k为{an}的一个周期．递增数列递减数列周期数列i1nia11,1,,2.nnanSSn【解析】(1)①an＝n2－1；②an＝(－1)n1n（n＋1）；③an＝13(10n－1)．【点评】根据数列的前n项归纳出通项时，常用方法是观察法，体现从特殊到一般的思维规律，观察时，可从以下几个方面着手：①符号规律，正负相间时可用(－1)n或(－1)n＋1表示；②各项结构为分数时可将分子、分母分开考察；③递增时可考虑关于n为一次递增或以2n，3n等形式递增．一、通项公式、递推公式例1(1)写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数.①0，3，8，15，…；②－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；③3，33，333，3333，….(2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2anan＋2(n∈N＋)，写出数列的前5项，并归纳出通项公式an.【解析】∵a1＝1，an＋1＝2anan＋2，∴a2＝2a1a1＋2＝2×11＋2＝23，a3＝2a2a2＋2＝2×2323＋2＝42＋6＝12＝24，a4＝2a3a3＋2＝2×1212＋2＝25，a5＝2a4a4＋2＝2×2525＋2＝13＝26.∴an＝2n＋1另解如下：∵an＋1＝2anan＋2，∴1an＋1＝an＋22an＝12＋1an，∴1an＋1－1an＝12，则数列1an是首项为1a1＝1，公差为12的等差数列．∴1an＝1a1＋(n－1)·12＝1＋n2－12＝n2＋12＝n＋12，∴an＝2n＋1.【点评】(1)根据数列的前n项归纳出通项时，常用方法是观察法，体现从特殊到一般的思维规律，观察时，可从以下几个方面着手：①符号规律，正负相间时可用(－1)n或(－1)n＋1表示；②各项结构为分数时可将分子、分母分开考察；③递增时可考虑关于n为一次递增或以2n，3n等形式递增.(2)熟悉常见递推关系：①an＋1－an＝常数，{an}是等差数列.②an＋1an＝常数，{an}是等比数列.这里1an＋1－1an＝12，所以1an是等差数列.二、通项an与前n项和Sn的关系例2已知数列{an}的前n项和为Sn，分别求其通项公式.(1)Sn＝3＋2n；(2)Sn＝14(an＋1)2(an＞0).【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝3＋21＝5，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3＋2n)－(3＋2n－1)＝2n－1，又a1＝5不适合上式，故an＝5（n＝1）2n－1（n≥2）.(2)当n＝1时，S1＝a1＝14(a1＋1)2，解得a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝14(an＋1)2－14(an－1＋1)2，所以(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，又an＞0，所以an－an－1＝2，可知{an}为等差数列，且公差为2，所以an＝a1＋(n－1)·2＝2n－1.故an＝2n－1(n∈N*).【点评】(1)当已知Sn＝f(n)时，利用an＝S1（n＝1）Sn－Sn－1（n≥2），可求出通项公式.要特别注意n＝1时的特殊性.(2)当已知Sn＝f(an)时，也是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)，一般可得到{an}的递推关系式，再进一步求{an}的通项公式.三、数列的单调性例3在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋12an＋1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项an；(2)若存在n∈N*，使得an≤(n＋1)λ成立，求实数λ的最小值.【解析】(1)由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n＋12an＋1，n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝n2an，两式作差得：nan＝n＋12an＋1－n2an，得：(n＋1)an＋1＝3nan(n≥2)，即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列，且a1＝1，a2＝1，于是2a2＝2，故n≥2时，nan＝2·3n－2，于是an＝1，n＝1，2n·3n－2，n≥2.(2)an≤n＋1λ⇔λ≥ann＋1，由(1)可知当n≥2时，ann＋1＝2·3n－2nn＋1，设fn＝nn＋12·3nn≥2，n∈N*则fn＋1－fn＝2n＋11－n2·3n＋10，∴1fn＋11fnn≥2，又1f2＝13及a12＝12，所以所求实数λ的最小值为13.1.已知Sn的表达式，或已知Sn与an的关系式时，均可用公式an＝Sn－Sn－1（n≥2）a1＝S1求解，注意n＝1时情形需验证.2.数列{an}(an＝f(n))的单调性，与函数y＝f(x)单调性有联系，也有不同，请加以区分.(2015广东)设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝32，a3＝54，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.(1)求a4的值；(2)证明：an＋1－12an为等比数列；(3)求数列{an}的通项公式.【解析】(1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即41＋32＋54＋a4＋51＋32＝81＋32＋54＋1，解得a4＝78.(2)证明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2).∵4a3＋a1＝4×54＋1＝6＝4a2，∴4an＋2＋an＝4an＋1(n≥1)，∴an＋2－12an＋1an＋1－12an＝4an＋2－2an＋14an＋1－2an＝4an＋1－an－2an＋14an＋1－2an＝2an＋1－an2（2an＋1－an）＝12，∴数列an＋1－12an是以a2－12a1＝1为首项，12为公比的等比数列.(3)由(2)知，an＋1－12an＝12n－1，即an＋112n＋1－an12n＝4.∴数列an12n是以a112＝2为首项，4为公差的等差数列，∴an12n＝2＋4(n－1)＝4n－2，即an＝(2n－1)·12n－1，∴数列{an}的通项公式为an＝(2n－1)·12n－1.1.数列{an}中，a1＝1，an＝1an－1＋1，则a4等于()A.53B.43C.1D.23A【解析】a1＝1，a2＝2，a3＝32，a4＝53，选A.2.如图，关于星星的图案中星星的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是()A.an＝n2－n＋1B.an＝n（n－1）2C.an＝n（n＋1）2D.an＝n（n＋2）2C【解析】观察所给图案知，an＝1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）2.3.数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于()A.28B.32C.33D.27B【解析】∵5＝2＋3×1，11＝5＋3×2，20＝11＋3×3，∴x＝20＋3×4＝32，故选B.4.在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是()A.103B.8658C.8258D.108D【解析】∵an＝－2n－2942＋2×29216＋3，∴n＝7时，an最大.a7＝－2×72＋29×7＋3＝108.5.已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，那么a2017的值是()A.20172B.2016×2015C.2017×2018D.2016×2017D【解析】根据an＋1＝an＋2n，可知利用叠加法，a2017＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a2017－a2016)，然后利用等差数列求和公式进行求解即可.∵a1＝0，an＋1＝an＋2n，∴a2－a1＝2，a3－a2＝4，…，a2017－a2016＝4032，∴a2017＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a2017－a2016)＝0＋2＋4＋…＋4032＝20172×(0＋4032)＝2016×2017.6.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋3n＋1，则通项an＝.5，n＝12n＋2，n≥2【解析】当n＝1时，a1＝S1＝5，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋3n＋1－n－12＋3n－1＋1＝2n＋2，验证当n＝1时，a1＝2×1＋2＝4≠5，所以an＝5，n＝1，2n＋2，n≥2.7.已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，则a2015＝____；a2018＝____.0【解析】依题意，得a2015＝a4×504－1＝0，a2018＝a2×1009＝a1009＝a4×253－3＝1.18.已知等比数列{an}中，a5＋2a4＝a2a4，前2m(m∈N*)项的和是前2m项中所有偶数项和的32.(1)求通项公式an；(2)已知{bn}满足bn＝(n－λ)an(n∈N*)，若{bn}是递增数列，求实数λ的取值范围.【解析】(1)由已知得a1＋a2＋a3＋…＋a2m＝32(a2＋a4＋…＋a2m)，a1＋a3＋a5＋…＋a2