微分中值定理与导数的应用

返回上页下页第一节微分中值定理一、罗尔定理定理1(罗尔(Rolle)定理)如果函数f(x)(1)在[a,b]上连续,(2)在(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),则至少存在一点∈(a,b),使得f()=0．返回上页下页证因为f(x)在[a,b]上连续,f(x)在[a,b]上必取得最大值M和最小值m．(1)如果M=m,则f(x)在[a,b]上恒等于常数M,因此,对一切x∈(a,b),都有f(x)=0.于是定理自然成立.(2)若M＞m,由于f(a)=f(b),因此M和m中至少有一个不等于f(a).设M≠f(a),则f(x)应在(a,b)内的某一点处达到最大值,即f()=M,下面证明f()=0．xfxfxfxffxx)()(lim)()(lim)(00返回上页下页因f(x)在达到最大值,所以不论x是正的还是负的,总有f(+x)-f()≤0．当x＞0时,0)()(xfxf0)()(lim)(0xfxffx根据极限的保号性,有当x0时,0)()(xfxf0)()(lim)(0xfxffx从而必须有f()=0.返回上页下页例1验证罗尔定理对函数f(x)=x2-2x+3在区间[-1,3]上的正确性．注罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个,定理的结论将不一定成立.显然函数f(x)=-2x+3在[-1,3]上满足罗尔定理的三个条件,解由f(x)=2x-2=2(x-1),可知f(1)=0,因此存在=1∈(-1,3),使f(1)=0．返回上页下页例2.10155的正实根有且仅有一个小于证明方程xx证,15)(5xxxf设,]1,0[)(连续在则xf.3)1(,1)0(ff且由介值定理.0)(),1,0(00xfx使即为方程的小于1的正实根.,),1,0(011xxx设另有.0)(1xf使,,)(10件之间满足罗尔定理的条在xxxf使得之间在至少存在一个),,(10xx.0)(f)1(5)(4xxf但))1,0((,0x矛盾,.为唯一实根返回上页下页0x0x0x)由连续函数介值定理知至少存在一点在［0,1］上有且仅有一个0≤f(x)≤1,且对于(0,1)内所有x，有f′(x)≠1，求证例３设f(x)在［0,1］上可导，当0≤x≤1时，，使f(证令F(x)=f(x)-x,则F(1)=f(1)-1≤0,F(0)=f(0)≥0．0x0x∈［0,1］,使得F(0x0x0x，下面证明在［0，1］上)即f(仅有一点，使F(0x)0．1x1x假设另有一点)0．0x1x，则由罗尔定理可知,在[,]上至少有0x1x一点ξ，使这与原题设矛盾．这就证明了在［0，1］0x0x0x内有且仅有)．一个，使f()0，∈［0,1］,使得F(不妨设F′(ξ)=0,即f′(ξ)=1,返回上页下页二、定理2若函数y=f(x)满足下列条件:(1)在闭区间[a,b](2)在开区间(a,b)则至少存在一点∈(a,b),使得abafbff)()()(证作辅助函数xabafbfxfxF)()()()(F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且返回上页下页aabafbfafaF)()()()(babafbfbfbF)()()()()()(,0)()(aFbFaFbF所以因为故F(x)满足罗尔定理的条件,从而至少存在一点∈(a,b),使得F()=0,即0)()()()(abafbffFabafbff)()()(因此得返回上页下页拉格朗日中值定理中的公式称为拉格朗日中值公式,此公式也可以写成f(b)-f(a)=f()(b-a)(a＜＜b)另外，由于是(a,b)中的一个点,它还可以表示成=a+(b-a)(0＜＜1),于是，拉格朗日中值公式又可写成f(b)-f(a)=(b-a)f[a+(b-a)](0＜＜1)要注意的是，在公式中，无论a＜b或a＞b，公式总是成立的，其中ξ是介于a与b之间的某个数．注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.返回上页下页例4)(arctanarctan211212xxxxxx其中证明不等式证)()(11arctanarctan],,[.arctan)(211221221xxxxxxxxxxf有在设.arctanarctan,11112122xxxx所以返回上页下页1xx例5证明不等式对一切x＞0成立.＜ln(1+x)＜x1),证由于f(x)=ln(1+x)在［０，＋∞）上连续、可导，对任何x＞0，在［0,x］上运用微分中值公式,1xx(01)．即ln(1+x)=1xx1xx＜由于＜x,因此当x＞0时，有1xx＜f(x)-f(0)=f′(x)x,(0ln(1+x)＜x．返回上页下页推论1如果f(x)在开区间(a,b)内可导,且f(x)≡0,则在(a,b)内,f(x)恒为一个常数．证在(a,b)内任取两点x1,x2,设x1x2,显然f(x)在[x1,x2]上满足拉格朗日中值定理的条件)()()()()(211212xxxxfxfxf因为f(x)≡0,所以f()=0.f(x2)=f(x1).返回上页下页例4).1(2arccosarcsinxxx试证)1,1(,01111)(',arccosarcsin)(22xxxxfxxxf则令证]1,1[,2arccosarcsin)(,2)1(,2)0()1,1(,)(xxxxfffxCxf故且又因得返回上页下页推论2若f(x)及g(x)在(a,b)内可导,且对任意x∈(a,b),有f(x)=g(x),则在(a,b)内,f(x)=g(x)+C(C为常数).证因[f(x)-g(x)]=f(x)-g(x)=0,由推论1,有f(x)-g(x)=C,即f(x)=g(x)+C,x∈(a,b)．返回上页下页三、定理3(柯西中值定理)若函数f(x)和g(x)满足以下条件:(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,且g(x)≠0,那么在(a,b)内至少存在一点,使得)()()()()()(gfagbgafbf证若g(a)=g(b),则由罗尔定理,至少存在一点1∈(a,b),使g(1)=0,这与定理的假设矛盾.故g(a)≠g(b).返回上页下页作辅助函数)()()()()()()(xgagbgafbfxfxFF(x)满足罗尔定理的三个条件,于是在(a,b)内至少存在一点,使得0)()()()()()()(gagbgafbffF从而有)()()()()()(gfagbgafbf返回上页下页例5.)()()(-)(),,(:,),(,],[)(,0abbafabfffbababaxfba使得至少存在一点试证内可导在上连续在函数设,],[,1)(,)()(.11)()(柯西中值定理的条件上满足它们在令原式右边可写成baxxGxxfxFabaafbbf证返回上页下页abaafbbfaGbGaFbFGF)()()()()()()(')('且有abbafabfffxGxxfxfxF)()()(-)(1)(',)()()('22代入得将返回上页下页四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理xxg)()()(bfaf罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式.返回上页下页一、填空题：1、函数4)(xxf在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理，则ξ=_______.2、设)4)(3)(2)(1()(xxxxxf，方程0)(xf有____________个根，它们分别在区间_____________上.3、罗尔定理与拉格朗日定理之间的关系是_________________.4、微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的_______与函数在这区间内某点处的_______之间的关系.5、如果函数)(xf在区间I上的导数__________，那么)(xf在区间I上是一个常数.练习题34153(1,2),(2,3),(3,4)前者是后者的特殊情形,加)()(bfaf即可增量导数恒为零返回上页下页第二节洛必达法则一、型未定式00定理1设f(x),g(x)(1)f(x)=0,g(x)=0(2)f(x),g(x)在内可导,且g(x)≠0(3)存在(或为∞)则0limxx)(0oxU)()(lim0xgxfxx)()(lim)()(lim00xgxfxgxfxxxx0limxx返回上页下页证由条件(1),设f(x0)=0,g(x0)=0.由条件(1)和(2)知f(x)与g(x)在U(x0)内连续设x∈,则f(x)与g(x)在[x0,x]或[x,x0]上满足柯西定理的条件,)(0oxU)()()()()()()()()(000之间与在xxgfxgxgxfxfxgxf当x→x0时,显然有→x0,由条件(3)得)()(lim)()(lim)()(lim000xgxfgfxgxfxxxxxx返回上页下页例23466lim443123lim8421612lim22222332xxxxxxxxxxxxx.8421612lim2332xxxxxx求解如果仍为型未定式,且f(x),g(x)满足)()(lim0xgxfxx00定理条件，则可继续使用洛必达法则.注意:返回上页下页例2.cossinsinlim420xxxxxx求解313sinlim3sincoscoslimcossinlimsinlimcossinlimcossinsinlim02030030420xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx返回上页下页推论1设f(x)与g(x)(1)f(x)=0,g(x)=0;(2)存在X＞0,当x＞X时,f(x)和g(x)可导,且g(x)≠0;(3)存在(或为∞)xlimxlim)()(limxgxfx)()(lim)()(limxgxfxgxfxx证令x=1/t,则x→∞时,t→0)()(lim1)1(1)1(lim)1()1(lim)()(lim2200xgxfttgttftgtfxgxfxttx返回上页下页例3.1)1ln(limxxax求解axaaxxaxaxxaxxx1lim1)()1(lim1)1ln(lim21返回上页下页二、型未定式定理2设f(x),g(x)(1)f(x)=∞,g(x)=∞(2)f(x)和g(x)在内可导,且g(x)≠0；(3)存在(或为∞)．则0limxx0limxx)(0oxU)()(lim0xgxfxx)()(lim)()(lim00xgxfxgxfxxxx返回上页下页推论2设f(x)与g(x)(1)f(x)=,g(x)=;(2)存在X＞0,当x＞X时,f(x)和g(x)可导,且g(x)≠0;(3)存在(或为∞)xlimxlim)()(limxgxfx)()(lim)()(limxgxfxgxfxx返回上页下页例401lim1limlnlim1axaxaxaxaxxxx.0lnlim