赵树嫄微积分第四版第八章-多元函数微积分(2)

第七节二重积分特点：平顶.曲顶柱体体积=？特点：曲顶.1、背景：曲顶柱体的体积(一)二重积分的基本概念柱体体积=底面积╳高步骤如下：S:z=f(x,y)任意分割曲顶柱体的底，分割x0zyDi并取典型小区域，近似以平代曲iiiiyxfV),(S:z=f(x,y)x0zyDi步骤如下：任意分割曲顶柱体的底，分割并取典型小区域，近似以平代曲求和iiniifV),(1S:z=f(x,y)x0zyDi步骤如下：任意分割曲顶柱体的底，分割并取典型小区域，近似以平代曲求和iiniifV),(1iiiiyxfV),(S:z=f(x,y)x0zyDi步骤如下：分割近似求和极限iiniifV),(lim10x0zyV.步骤如下：分割近似求和极限iiniifV),(lim10曲顶柱体的体积2、二重积分的定义设二元函数),(yxfz是有界闭区域D上的有界函数,若将D任意分割成n个小闭区域n,,,21,并用同样的记号记它们的面积,任取iii),(,作和存在,则称函数),(yxf在D上可积,该极限称为),(yxf在D上的二重积分,记作niiiif1),(,记}{max1的直径ini,若极限niiiif10),(lim.d),(Dyxf积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素iiniiDfyxf),(limd),(10即(1)当),(yxf在闭区域上连续或分片连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在。说明：（2）由定义可知如果f(x,y)在D上可积则积分和的极限存在且与D的分法无关在直角坐标系中常用平行于x轴和y轴的两组直线分割D于是小区域的面积为ixiyi(i1,2,,n)在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，DDyxyxfyxfdd),(d),(yxddd故二重积分可写为xyoD则面积元素为3、二重积分的性质下面假定f(x,y),g(x,y)在闭区域D上连续,A为D的面积。性质2线性性质DDDyxgyxfyxgyxfd),(d),(d)],(),([DDyxfkyxfkd),(d),((k为常数).若在D上1),(yxf,则由定义可知,ADd1，这里A为D的面积。性质1若0),(yxf,Dyx),(,则d|),(||d),(|DDyxfyxf性质4.0d),(Dyxf设21DDD,且21,DD无公共内点，则有性质3区域可加性.d),(d),(d),(21DDDyxfyxfyxf若),(),(yxgyxf,Dyx),(,则DDyxgyxfd),(d),(推论1推论2设),(yxf在有界闭区域D上的最大值为M,最小值为m,D的面积为A,则性质5估值性质MAyxfmADd),(证,),(Myxfmdd),(dDDDMyxfmMAyxfmADd),(所以于是若),(yxf在D上连续,则存在一点D),(,满足:性质6(二重积分的中值定理)AfyxfD),(d),(证由性质5知,.d),(MAyxfmAD由于0A,得，MyxfAmDd),(1由闭区域上连续函数的介值定理,存在一点D),(,使，),(d),(1fyxfAD即得证。DyxyxfAdd),(1称为),(yxf在D上的平均值。(二)在直角坐标系下二重积分的计算DyxyxfIdd),(d)(yxxyoD)(yxc如果积分区域为D：.dyc，)()(yxy0xzycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y)y.dyc，)()(yxy0xzycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y)y.dyc，)()(yxy问题：Q(y)是什么图形？yyyxfz),(是曲边梯形!)(yQ)(yQ)()(d),(yψyφxyxfIdcyyQd)(dcyyyxyxfId]d),([)()(0xzyx=(y)ycdDz=f(x,y)x=(y).dyc，)()(yxy)(yQ)()(d),(yψyφxyxfIdcyyQd)(dcyyyxyxfId]d),([)()(一般记为)()d),(ddd),(yydcDxyxfyyxyxf(d)(yxxyoD)(yxc——先对y后对x的二次积分如果积分区域为：.dyc，)()(21yxyDyxfd),(dcyd——先对x后对y的二次积分d),(xyxf)(2y)(1y后积的投影先积的穿线d)(2yxxyoD)(1yxc累次积分积分区域为：.bxa，)()(21xyxDyxfd),(一般地，baxd——先对y后对x的二次积分ab)(2xyxyoD)(1xyd),(yyxf)(2x)(1x后积的投影先积的穿线累次积分求二重积分的步骤1.画区域D的图像2.求交点4.确定积分变量的先后,若是X型，就先y后x5.确定上下限,内层积上下限是外层积分变量的函数，外层积分限是常数6.确定被积函数7.计算3.确定区域的类型X、Y(,)(,).baDfxydxdydxfxydy上下(,)(,).baDfxydxdydyfxydx右左24将yxyxfdd),(D化为累次积分,其中D由直线4,2,2,yyxyxy围成。解法1先画出积分区域D，将D向y轴投影，先x后y,yxyxfDdd),(.d),(xyxf42dy例1xy2xyxyoDy2y246xy2xy24xyo1D2D解法2先y后x,将D向x轴投影,21DDDyxyxfyxyxfyxyxfDDDdd),(dd),(dd),(21yyxfxd),(242dx.d),(42yyxfx64dx计算，dDxy其中D由直线,1,yxy解先画出积分区域D，先y后x,将D向x轴投影，dDxyyxyxd121dx2112d21xyxx例2.89xy2xxyo12121y212d)1(21xxx围成。2x求Dyxyxdd)(2，其中D是由抛物线2xy和2yx所围平面闭区域.解Dyxyxdd)(21022d)(dxxyyxxxxxxxxd)](21)([42102.14033例3先求两曲线的交点)1,1()0,0(2xyxyoxy211先对y积分，xy求Dyyxxdde22,其中D是以),1,1(),0,0()1,0(为顶点的三角形.yyde2无法用初等函数表示,解积分次序应先x后y,Dyyxxdde22yyxxy0210dde2yyyde3110322102de612yyy.)e21(61例4xyo11yx解2212dddyyDxxyyxy.845例5先x后y,yyyyd])2([212152)1,1(xy2xyo2xy)2,4(两曲线的交点)1,1()2,4(计算Dxyd，其中D是由抛物线xy2及直线2xy所围成的闭区域。解例5)1,1(xy2xyo2xy)2,4(两曲线的交点)1,1()2,4(计算Dxyd，其中D是由抛物线xy2及直线2xy所围成的闭区域。Dxyd选择积分次序的原则：若选择先y后x,xxyxyxdd10,dd241xxyxyx(1)积分容易；(2)尽量少分块或不分块.麻烦。练习计算二重积分Dyxyxdde，其中区域D是由,0x,1x1,0yy围成的矩形。y11xo解Dyxyxdde)de()de(1010yxyx.)1e(2练习计算二重积分Dyxyxdd2，其中区域D是由0x，0y，122yx所围成的位于第一象限的图形。解Dyxyxdd2210210ddxyyxx1022d)1(21xxx.151)5131(21y21xy11xo计算二重积分Dyxyxdd2，其中区域D是由0x，0y，122yx所围成的位于第一象限的图形。练习或解Dyxyxdd2用极坐标，102220dsincosdrrrr104202ddsincosrrr202cosdcos51.151y1r11xo计算二重积分Dyxyxdd)2(，其中区域D是由直线1y，032yx与03yx围成的图形。练习解)3,0(,)1,2(,)1,1(，y032yx1)3,0(xo)1,1()1,2(03yx三直线交点分别为Dyxyxdd)2(yyxyxy3)3(2131d)2(d312d)34(49yyy.3应用二重积分，求在xy平面上由2xy与24xxy所围成区域的面积。练习解y2xy24xo24xxy224xxyxy，求得交点)4,2(,)0,0(，DyxAdd22420ddxxxyx202d)24(xxx.38计算Dxd，其中D是以)1,2(),2,1(),0,0(为顶点的三角形区域。解Dxdxxyxx22110dd21102d)233(d23xxxxx.23272921xxyxx32121dd练习xyo)2,1()1,2(xy21xy2xy3改变积分的次序.xyyxfx1010d),(d例6xyo11xy1解积分区域为.10,10:xxyD.10,10:yyxDxyyxfx1010d),(d.d),(d1010yxyxfy将D向y轴投影,改写为yx1解设，原式21d),(d),(DDyxfyxf.20,10:21xxyxD.20,21:2xyxD则1Dxy22Dxxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d2例7改变下面积分的次序:xyo121,22xxy,1)1(22yx设21DDD将D向y轴投影,.10,211:2yyxyDd),(Dyxf原式.d),(d102112yyxyxfy1Dxy22Dxyo121,1)1(22yx1x21y211yxxyoxy11xy例8交换积分次序,解yyxyyy2dsind10原式10dsin)1(yyy10cosd)1(yy.1sin1xxyyyxdsind102yx1010dcoscos)1(yyyyyx试证aaxbyaxbaxxfxaxxfy0)(0)(0d)(e)(d)(ed。练习证xyoaayx交换积分次序，yaxbaxxfy0)(0d)(edaxaxbayxfxd)(ed)(0.d)(e)(0)(aaxbxxfxaxyo66练习解交换积分次序，xyxxx060dcosd原式.21dcos60xx660dcosdyxxxy利用对称性简化二重积分的计算设积分区域D关于y轴对称，;0d),(Dyxf(1)若f(x,y)关于x是奇函数，则有(2)若f(x,y)关于x是偶函数，则有其中是D的右半区域。1D,d