高一立体几何平行垂直解答题精选

试卷第1页，总4页高一立体几何平行、垂直解答题精选2017.12.181．已知直三棱柱ABC-A1B1C1，点N在AC上且CN=3AN，点M，P，Q分别是AA1，A1B1，BC的中点.求证：直线PQ∥平面BMN.2．如图，在正方形ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是棱B1C1，BB1，C1D1的中点，是否存在过点E，M且与平面A1FC平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由.3．在正方体1111ABCDABCD中，M，O分别是1,ABBD的中点.（1）求证：//OM平面11AADD；（2）求证：1OMBC.4．如图，AB为圆O的直径，点,EF在圆O上，且//ABEF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面垂直，且1,2ADEFAFAB.第2页（1）求证：平面AFC平面CBF；（2）在线段CF上是否存在了点M，使得//OM平面ADF？并说明理由.5．已知：正三棱柱111ABCABC中，13AA，2AB，N为棱AB的中点．（1）求证：1AC平面1NBC．（2）求证：平面1CNB平面11ABBA．（3）求四棱锥111CANBA的体积．6．已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且(01).AEAFACAD（1）求证：不论为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?7．如图，在菱形ABCD中，60,ABCAC与BD相交于点O，AE平面ABCD，//,2CFAEABAE.试卷第3页，总4页（I）求证：BD平面ACFE；（II）当直线FO与平面ABCD所成的角的余弦值为1010时，求证：EFBE；（III）在（II）的条件下，求异面直线OF与DE所成的余弦值.8．如图，四棱锥PABCD中，//ADBC，24ADBC，23AB，090BAD，,MO分别为CD和AC的中点，PO平面ABCD.（1）求证：平面PBM平面PAC；（2）是否存在线段PM上一点N，使用//ON平面PAB，若存在，求PNPM的值；如果不存在，说明理由.9．如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，60,BADN是PB的中点，过,,ADN三点的平面交PC于M，E为AD的中点，求证：（1）//EN平面PDC；（2）BC平面PEB；（3）平面PBC平面ADMN.10．如图，四棱锥PABCD中，PD平面PAB，AD//BC，12BCCDAD，E，F分别为线段AD，PD的中点.（Ⅰ）求证：CE//平面PAB；（Ⅱ）求证：PD平面CEF；（Ⅲ）写出三棱锥DCEF与三棱锥PABD的体积之比.（结论不要求证明）第4页11．如图，点P是菱形ABCD所在平面外一点，60BAD，PCD是等边三角形，2AB，22PA，M是PC的中点.（Ⅰ）求证：PA平面BDM；（Ⅱ）求证：平面PAC平面BDM；（Ⅲ）求直线BC与平面BDM的所成角的大小.12．在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点.（Ⅰ）求证：AOCD.（Ⅱ）求证：平面AOF平面ACE.（Ⅲ）侧棱AC上是否存在点P，使得BP平面AOF？若存在，求出APPC的值；若不存在，请说明理由.13．在四棱锥PABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，//ABCD，90ADC，1ABADPD，2CD．（1）求证：//BE平面PAD；（2）求证：BC平面PBD；（3）在线段PC上是否存在一点Q，使得二面角QBDP为45？若存在,求PQPC的值；若不存在，请述明理由．ABCDEP答案第1页，总13页参考答案1．见解析【解析】试题分析：根据题目给出的P，Q分别是A1B1，BC的中点，想到取AB的中点G，连接PG，QG后分别交BM，BN于点E，F，根据题目给出的线段的长及线段之间的关系证出GEEP=GFFQ=13，从而得到EF∥PQ，然后利用线面平行的判定即可得证；试题解析：如图，取AB中点G，连接PG，QG分别交BM，BN于点E，F，则E，F分别为BM，BN的中点.而GE∥12AM，GE=12AM，GF∥12AN，GF=12AN，且CN=3AN，所以GEEP=13，GFFQ=ANNC=13，所以GEEP=GFFQ=13，所以EF∥PQ，又EF⊂平面BMN，PQ⊄平面BMN，所以PQ∥平面BMN.2．详见解析.【解析】试题分析:由正方体的特征及N为BB1的中点，可知平面A1FC与直线DD1相交，且交点为DD1的中点G.若过M，E的平面α与平面A1FCG平行，注意到EM∥B1D1∥FG，则平面α必与CC1相交于点N，结合M，E为棱C1D1，B1C1的中点，易知C1N∶C1C＝14.于是平面EMN满足要求．试题解析:如图，设N是棱C1C上的一点，且C1N＝C1C时，平面EMN过点E，M且与平面A1FC平行．证明如下：设H为棱C1C的中点，连接B1H，D1H.∵C1N＝C1C，∴C1N＝C1H.又E为B1C1的中点，∴EN∥B1H.又CF∥B1H，∴EN∥CF.答案第2页，总13页又EN⊄平面A1FC，CF⊂平面A1FC，∴EN∥平面A1FC.同理MN∥D1H，D1H∥A1F，∴MN∥A1F.又MN⊄平面A1FC，A1F⊂平面A1FC，∴MN∥平面A1FC.又EN∩MN＝N，∴平面EMN∥平面A1FC.点睛:本题考查线面平行的判定定理和面面平行的判定定理的综合应用,属于中档题.直线和平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行;平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面分别平行，则这两个平面平行．3．（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）连接1AD，1AD，由MO，分别是1AB，BD的中点可证OM∥1AD，即可证明OM∥平面11AADD；（2）由11DC∥AB且11DCAB可证11DCBA为平行四边形，即可证1AD∥1BC，再根据11ADAD即可证明1OMBC.试题解析：（1）连接1AD，1AD，因为MO，分别是1AB，BD的中点，所以OM∥1AD，且1AD平面11AADD，所以OM∥平面11AADD（2）由题意11DC∥AB且11DCAB，所以11DCBA为平行四边形，所以1AD∥1BC，由（Ⅰ）OM∥1AD，且11ADAD，所以1OMBC答案第3页，总13页4．（1）证明见解析；（2）存在，见解析；【解析】试题分析：（1）要证明平面AFC平面CBF，只需证AF平面CBF，则只需证AFCB,AFBF,再根据题目条件分别证明即可；（2）首先猜测存在CF的中点M满足//OM平面ADF，作辅助线，通过//OMAN，由线面平行的判定定理，证明//OM平面ADF。试题解析：解：（1）因为平面ABCD平面,ABEFCBAB，平面ABCD平面ABEFAB，所以CB平面ABEF，因为AF平面ABEF，所以AFCB,又AB为圆O的直径，所以AFBF,因为CBBFB，所以AF平面CBF，因为AF平面AFC，所以平面AFC平面CBF.（2）如图，取CF的中点,MDF的中点NA，连接,,NMNOM，则1//,2MNCDMNCD，又1//,2AOCDAOCD，所以//,MNAOMNAO，所以四边形MNAO为平行四边形，所以//OMAN，又AN平面,DAFOM平面DAF，所以//OM平面DAF，即存在一点M为CF的中点，使得//OM平面DAF.5．（1）见解析；（2）见解析；（3）332．【解析】试题分析：（1）要证线面平行，就是要证线线平行，考虑过直线1AC的平面1ACB与平面1CBN的交线ON（其中O是1BC与1BC的交点），而由中位线定理易得1//ACON，从而得线面平行；（2）由于ABC是正三角形，因此有CNAB，从而只要再证CN与平面11ABBA内另一条直线垂直即可，这可由正棱柱的侧棱与底面垂直得到，从而得线面垂直，于是有面面垂直；（3）要求四棱锥的体积，由正三棱柱的性质知111ABC中，边11AB的高就是四棱锥的高，再求得四边形答案第4页，总13页11ANBA的面积，即可得体积．试题解析：（1）证明：连接1BC，交1BC于O点，连接NO，∵在1ABC中，N，O分别是AB，1BC中点，∴1NOAC，∵NO平面1NCB，1AC平面1NCB，∴1AC平面1NCB，（2）证明：∵在等边ABC中，N是棱AB中点，∴CNAB，又∵在正三棱柱中，1BB平面ABC，CN平面ABC，∴1BBCN，∵1ABBBB点，AB，1BB平面11ABBA，∴CN平面11ABBA，∵CN平面1CNB，∴平面1CNB平面11ABBA．（3）作111CDAB于D点，∴1CD是四棱锥111CANBA高，1tan6032hAB，底面积19323122S，答案第5页，总13页11113332CANBAVSh．【点睛】(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理.(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.6．（1）见解析（2）λ＝67【解析】(1)证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.∵AEAFACAD＝λ(0＜λ＜1)，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD.∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF.∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)解：由(1)知，BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD.∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝2，AB＝2tan60°＝6.∴AC＝22ABBC＋＝7.由AB2＝AE·AC，得AE＝67.∴λ＝AEAC＝67.故当λ＝67时，平面BEF⊥平面ACD7．（I）见解析；（II）见解析；（III）54．【解析】试题分析：（I）要证BD与平面ACFE垂直，只要证BD与平面ACFE内两条相交直线垂直即可，这由已知线面垂直可得一个，又由菱形对角线垂直又得一个，由此可证；（II）由已知线面垂直得FC平面ACFE，从而知FOC为直线FO与平面ACFE所成的角，从而可得,FCFO，然后计算出三线段,,EFBEBF的长，由勾股定理逆定理可得垂直；（III）取BE中点M，则有//MODE，从而可得异面直线所成的角，再解相应三角形可得．试题解析：答案第6页，总13页（I）BD平面ACFE{BDACABCDBDAEAEABCD菱形平面；（II）FC平面ABCD直线FC与平面ABCD所成的角10cos10FOCFOC而且RtFOC中，110,3COFOFC，过E作//ENAC交FC于点NRtFNE中5,EFRtFCB中13,FBRtEAB中2228EBEFEBFBEFEB；（III）取BE边的中点M，连接,//MOMODE且122MODEFOM为所求的角或其补角，而在RtFEM中，227FMEFEMRtFOM中2225cos24FOMOFMFOMFOMO异面直线OF与DE所成的余弦值为54.8．（1）证明见解析；（2）13.【解析】试题分析：（1）以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，可得(3,3,0)BM，(23,2,0)AC，0BMAC，BMAC又BMPO得BM平面PAC，进而得结论；（2）设OPh，可得平面PAB的一个法向量为(0,,1)nh，再根据20ONnhhh可解得.试题解析：（1）如图，以A为原点建立空间