小知识

小知识:德国有一个数学神童，在他十岁时，小学老师出了一道算术难题：“计算1＋2＋3+……＋100＝？”.这可难为初学算术的学生，但是他却在几秒后将答案解了出来，他就是德国的大数学家,有“数学王子”之称的高斯(Gauss，1777-1855).他把数目一对对的凑在一起：1＋100，2＋99，3＋98，……，49＋52，50＋51而这样的组合有50组，所以答案很快的就可以求出是：101×50＝5050.现在同学们一定想起他是谁了吧？本节课我们将一起学习这种可以寻找规律来帮助我们解题的问题.一些简单的规律问题自然数的表示法:__________(n是正整数)奇数:__________偶数:___________写出(-1)n(n是正整数)的前5个数:______________口答1,2,3,5,8,13,请写出第七个数:______(注意所有数据)1,2,5,10,17,请写出第六个数:______x,-x2,x3,-x4,x5,请写出第六个数:______1，3，5，7，9，……第n个数为：__________n-12n-1(n为整数)2n(n为整数)-1,1,-1,1,-12126-x6(请验证规律(-1)n-1xn)2n-1(n为正整数)常见的特殊数列:(1),2n(n为正整数),那么它的前5数为:2,4,6,8,10.相临的两个数都相差2..前5个数：3,5,7,9,11……第n个数为_______(2)n2(n为正整数),那么它的前5数为:1,4,9,16,25.(3)2n(n为正整数),那么它的前5数为:2,4,8,16,32.前5个数：3,6,11,18,27……第n个数为_______前5个数：1,3,7,15,31……第n个数为_______当数据相临的两个数相差的值不同时:2n+1n2+22n-1规律为5n的前5个数是:5,10,15,20,25观察一列数3，8，13，18，23，28……依此规律，在此数列中比2000大的最小整数是。分析上例：观察数列,可发现规律:后一个数比前一个数都大5,故第n个数为5n-2,所以5n-22000,解得:n400.4,又n为正整数,满足条件的n为401,则答案为5×401-2=2003.2003观察等式：1×3＝22－12×4＝32－1；3×5＝42－1；4×6＝52－1；…；10×12＝112－1；…解析上例：观察等式，可发现规律：等式左边是两个连续奇数的积，右边是夹在这两个连续奇数中间的偶数的平方与1的差,或,左边是两个连续偶数的积，右边是夹在这两个连续偶数中间的奇数的平方与1的差.故规律为:n(n+2)=(n+1)2-1(n为正整数).我校全体学生按如下的规律排成一列纵队参加社会服务课活动男女男男女女男男男女男女男男女女男男男女男女男男女女……则队伍前2003名学生中，共有多少名女学生。解析上例：观察文字排列顺序，可发现：男女生相间隔开,男学生的人数顺序是1、2、3、1、2、3……由此可见男女生的人数每10人一循环,因此2003/10得200余数3,又，每10人中女生有4人,所以女生人数为200×4+1=801(人)1,一列数分别是:(1),2,5,8,11,14……第n个数为：_______(2),2,4,10,28,82……第n个数为：_______2,3n-13n-1+147(要记得检验)(有的题目找规律而不写规律.)2×4＝32－1；3×5＝42－1；4×6＝52－1；……；10×12＝112－1；……规律为_______________1,观察下列等式:1.32-12=4×2；2.42-22=4×3；3.52-32=4×4；4.（）2-（）2=（）×（）；……则第4个等式为______________．第n个等式为______________．（n是正整数）nn2,(n+1)(n+3)=(n+2)2-1(n是正整数)62-42=4×5(n+2)2-n2=4×(n+1)第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224…………28262,将正偶数按下表排成5列,并根据右表的规律，2002应排在（）（A）第126行，第1列（B）第126行，第2列（C）第251行，第1列（D）第251行，第2列122343477451114115·········ab········1,如图是与“杨辉三角”有类似性质的三角形数垒，a,b是某行的前两个数，当a=7时，b=．22D已知△ABC的面积为1，连结这个三角形各边中点得到一个小三角形的面积为1/4；又连结这个小三角形各边中点得到一个更小的三角形的面积为1/16……如此继续下去，到第n次这样作出的三角形的面积为________。分析上例：利用相似三角形的性质,面积比等于相似比的平方.那么每次分出的小三角形和前一个三角形的相似比为1/2,到第n次这样作出的三角形和原三角形(面积为1)的相似比为(1/2)n,(1/4)n因此它的面积为[(1/2)n]2=(1/4)n根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律：猜想第6个图形有多少个点，第n个图形中有多少个点?解析上例：观察图形排列顺序，第1个图不好观测规律,从第2个观察起,发现,如果把中间的点当起始点,第n个图就有n个分支,每个分支上的点个数为(n-1).所以第6个图形有6×(6-1)+1=31个点,第n个图形有n(n-1)+1个点.(检验通过)nBn2+165练习1,如图,AB是⊙O的直径,把线段AB分成几条相等的线段,以每条线段为直径分别画小圆,设AB=a,那么⊙O的周长l=πa,试计算(1)把AB分成两条相等的线段,每个小圆的周长l2=(1/2)πa=(1/2)l(2)把AB分成三条相等的线段,每个小圆的周长l3=;(3)把AB分成四条相等的线段,每个小圆的周长l4=;……(4)把AB分成n条相等的线段,每个小圆的周长ln=;2如图，矩形A1B1C1D1的面积为４，顺次连结各边中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连结四边形A2B2C2D2四边中点得到四边形A3B3C3D3，依此类推，求四边形AnBnCnDn的面积是。(1/3)πa=(1/3)l(1/4)πa=(1/4)l(1/n)πa=(1/n)l(1/2)n-3(05年)1,4,6,4,108年泉州中考18、四边形ABCD为边长等于1的菱形，顺次连结它的各边中点组成四边形EFGH（四边形EFGH称为原四边形的中点四边形），再顺次连结四边形EFGH的各边中点组成第二个中点四边形，……，则按上述规律组成的第八个中点四边形的边长等于_____________比较:矩形A1B1C1D1的面积为４，顺次连结各边中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连结四边形A2B2C2D2四边中点得到四边形A3B3C3D3，依此类推，求四边形AnBnCnDn的面积是_____。(1/2)n-31/16(1/2)n/2,n0且n为偶数(07年)18．图（1）是一个黑色的正三角形，顺次连结它的三边的中点，得到如图（2）所示的第2个图形（它的中间为一个白色的正三角形）；在图（2）的每个黑色的正三角形中分别重复上述的作法，得到如图（3）所示的第3个图形。如此继续作下去，则在得到的第6个图形中，白色的正三角形的个数是_______________图（1）图（2）图（3）121•(04年)我们来探究“雪花曲线”的有关问题：下图(3)是边长为1的正三角形，将此正三角形的每条边三等分，而以居中的那一条线段为底边再作正三角形，然后以其两腰代替底边,得到第二个图形如下图(4)；再将下图(2)的每条边三等分，并重复上述的作法，得到第三个图形如下图(5)，如此继续下去,得到的第五个图形的周长应等于()(03年)如图，在四个正方形拼接成的图形中，以、、、…、这十个点中任意三点为顶点，共能组成________个等腰直角三角形．你愿意把得到上述结论的探究方法与他人交流吗?若愿意，请在下方简要写出你的探究过程（结论正确且所写的过程敏捷合理可另加2分，但全卷总分不超过150分）：____________________________________________2，表现形式为数字时，利用现有掌握的规律或每个数字化为有规律的式子；若是等式，常可将各等式“=”对齐竖排。表现形式为图形时，运用相关的几何定理先将它转化为有用的数据或是观察图形排列顺序的规律，再按题目要求解答。1,对问题有时需大胆猜想,小心验证。用公式表示的结论，一定要注明公式中的字母所表示数的取值范围。3,这节课学习了规律探索中的部分题型,希望大家在后续的学习中大胆探索,勇于实践。作业:复习讲义P162开放探索题