赵树嫄微积分第四版第二章-极限与连续

第二章极限与连续本章介绍极限的概念、性质和运算法则，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质。此外还给出了两个极其有用的重要极限。随后，运用极限引入了函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述，微积分学中讨论的函数主要是连续函数。第一节数列的极限割圆术我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆内接正多边形计算圆面积的方法--割圆术，就是极限思想在几何上的应用。(一)数列概念三国时的刘徽提出的的方法.他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、···这样继续分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长.“割圆求周”割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.数列的定义例如,,8,4,2,,51,31,11}2{n}12)1({1nn按自然数,3,2,1编号依次排列的一列数称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项，na称为通项(一般项)。数列(1)记为}{na.(1),,,,21naaa.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn(二)数列极限的定义,)1(1,,65,56,43,34,21,21nn1x22134435665问题:当n无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?na.1)1(1,1无限接近于无限增大时当nannn问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它?|1|na|1)1(|1nn通过上面图示观察:,1n,1001给定,10011n由,100时只要n,1001|1|na有,10001给定,1000时只要n,100001|1|na有,100001给定,10000时只要n,10001|1|na有,0任意给定,1N取.|1|成立恒有na,时只要Nnnnann1|1)1(||1|1如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：;||.1的无限接近与刻划了不等式aaaann..2有关一般与任意给定的正数N使得对于Nn时的一切na,定义||aan都成立,总存在正整数N,那末就称常数a是数列}{na的极限,不等式或者称数列}{na收敛于a,记为,limaann).(naan或如果对于任意给定的正数ε(不论它多么小),2Na1Nax1a2aNa几何解释：2aaa,),(,内都落在所有的点时当aaaNnn:”定义“N其中：;:每一个或任给的。至少有一个或存在:,0：aannlim。落在其外个至多只有有限个)(N，正整数N,时使当Nn.||aan恒有用数列极限的定义证明极限。例1.1])1(1[lim1nnn证明证|1|na|1)1(1|1nn，n1，就有|1)1(1|1nn.1])1(1[lim1nnn即得证,0任给,||1na欲使,1n只要,1n或,1N取,时则当Nn|1222|nnn例2.212limnnn证明证,0,|212|nn欲使，就有212nn.212limnnn即证得12n,12N取,时则当Nn，即12n注：极限的定义只能用来验证某常数是否为某数列的极限，而不能用来计算极限。(三)收敛数列的基本性质性质1极限的唯一性定理1若数列}{na收敛，则极限唯一。性质2有界性对于数列}{na，如果存在常数0M，使对一切n，有定理2收敛的数列必定有界。则称数列}{na是有界的。,||Man注1有界性是数列收敛的必要条件，不是充分条件。注2无界数列必定发散。.2nnx例如：有界数列不一定收敛..)1(nnx例如：性质3收敛数列的保号性).0(0,,0),0(0,limnnnnaaNnNaaaa都有时当正整数那么存在且设定理3推论如果数列}{na从某项起恒有0na(或0na），且aannlim，那么0a(或0a)注即使数列}{na从某项起恒有0na，且aannlim，也只能得到0a，而不能得到0a.例如，数列n1恒正，但01limnn.第二节.sin时的变化趋势当观察函数xxx(一)自变量趋于无穷大时函数的极限xy通过上面图示观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”？定义X：Axfx)(lim,0,0X,||时使当Xx.)(||Axf恒有.0sin)(,||无限接近于无限增大时当xxxfxxxysin例1.0sinlimxxx证明证，欲使|0sin|xx，只需||1x,0,1X取,||时则当Xx,||1sinxxx.0sinlimxxx故，恒有|0sin|xx，即1||xxxysin几何解释:XX.2,)(,的带形区域内宽为为中心线直线图形完全落在以函数时或当AyxfyXxXxAAxfx)(lim：Axfx)(lim,0,0X,时使当Xx.)(||Axf恒有：Axfx)(lim,0,0X,时使当Xx.)(||Axf恒有)(limxfx存在当且仅当)(limxfx和)(limxfx都存在且相等.,0elimxx例3解x时，xxfe)(有无极限？,elimxx.elim不存在故xxxyo,2arctanlimxx例2解x时，xxfarctan)(有无极限？.arctanlim不存在故xx,2arctanlimxxxy22.)()()(lim)(lim的一条水平渐近线就是那么，为常数或如果xfyAyAAxfAxfxx例如,arctanxy有两条水平渐近线：.2,2yyxy22一条伸展到无穷远的曲线)(xfy,当点))(,(xfxP沿曲线无限远离原点时,点P到直线Ay的距离趋于零,这时我们称直线Ay是曲线)(xfy的水平渐近线.xyoxy1xyexyo水平渐近线:.0y水平渐近线:.0y.)()()(lim)(lim的一条水平渐近线就是那么为常数或如果xfyAyAAxfAxfxx(二)自变量趋于有限点处时函数的极限问题:函数)(xfy在0xx的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A.x0x0x0x定义：Axfxx)(lim0,0,0,||00时使当xx.|)(|Axf恒有;|)(||)(|任意小表示AxfAxf.||000的过程表示xxxx3.几何解释:AAA0x0x0xxyo.2,)(,0的带形区域内宽为为中心线线图形完全落在以直函数域时邻的去心在当Ayxfyxx说明：;)(.10处是否有定义无关在点函数极限与xxf..2有关一般与任意给定的正数)(xfy例4.)(lim0为常数证明CCCxx证|)(|Axf||CC,成立,0任给0.lim0CCxx,0任取,||00时当xx例5.lim00xxxx证明证,|||)(|0xxAxf,0任给,取,||00时当xx,|||)(|0成立xxAxf.lim00xxxx欲使|423|x,故只需取3,当|2|0x时,必有|423|x.证明4)23(lim2xx.证即|2|3x,得证。例6,03|2|x,欲使6392xx,故只需取,当|3|0x时,必有6392xx.0,证明639lim23xxx.证即|3|x,得证。例763)3)(3(xxx|63|x(三)左极限与右极限,0xx从左侧无限趋近;)0(00xxxx或记作,0xx从右侧无限趋近.)0(00xxxx或记作左极限：,,0,000时使当xxx.)0()(lim00AxfAxfxx或记作.|)(|Axf恒有x0x0x左极限：,,0,000时使当xxx右极限：,,0,000时使当xxx.)0()(lim)(000AxfAxfxfxx或记作.)0()(lim00AxfAxfxx或记作x0x0x0x.|)(|Axf恒有.|)(|Axf恒有yox1xy112xy解两个单侧极限为是函数的分段点,0x,1,1左右极限存在且相等,.1)(lim0xfx故例8，设0,10,1)(2xxxxxf.1)(lim0xfx证明.)(lim)(lim)(lim:000AxfxfAxfxxxxxx定理)(lim0xfx)1(lim0xx)(lim0xfx)1(lim20xx例9设1,111,93)(23xaxxxxaxxf,已知)(lim1xfx存在，求：(1)a；(2))(lim1xfx.)(lim1xfx解)93(lim31axxx,310a因为)(lim1xfx存在，所以aa2310，.2a即.4)(lim1xfx且)(lim1xfx)11(lim21axxx)1(lim1axx,2a类似地，可以把)(limxfx和)(limxfx当作单侧极限.)(limxfx存在当且仅当)(limxfx和)(limxfx都存在且相等..)(lim)(lim)(lim:000AxfxfAxfxxxxxx定理(四)函数极限的性质性质1函数极限的唯一性性质2有极限函数的局部有界性定理若)(lim0xfxx存在,则极限唯一.定理如果Axfxx)(lim0，那么存在常数0M和0，使得当||00xx时，有Mxf|)(|..)(lim0为代表以xfxx0)(,||0,00xfxx时当若推论1性质3有极限函数的局部保号性注意.0,0)(Axf也只能得到即使推论2,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx且.BA则必有,0),0(0,)(lim0则或且若AAAxfxx定理.)0)((0)(,||00xfxfxx或时当.)0(0,)(lim),0)((0AAAxfxfxx或则且或,)()(,||0,00xgxfxx时当若第四节无穷大量和无穷小量(一)无穷大量的绝对值无限增大。轴无限接近于时，函数当||,10yyxyx绝对值无限增大的变量叫无穷大量。xoy精确定义：：)(lim)10xfxx,0M.|)(|Mxf有：)(lim)2xfx,0M时，当Xx||.|)(|Mxf有,||00时当xx1、无穷大量是一个变量，不可与绝对值很大很大的数混为一谈；2、称函数是无穷大量，必须指明其自变量的变化趋势。注：,0,0X证明xx1lim0.0M,即Mx1||,当||0x时,恒有Mx1.所以取M1,证得证.xoy例1欲使Mx1,若)(lim0xfxx,则0xx为曲线)(xfy的一条铅直渐近线。例2有两条竖直渐近线：.3,2xx,)3)(2(1lim2xxx,)3)(2(1lim3xxx求)3)(2(1xxy的渐近线。解,0)3)(