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排列组合中涂色问题与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四块区域涂色，要求相邻的区域颜色不同，每块只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法？解答本题可以分步涂色，但要注意相邻区域颜色互异，也可以按选用颜色的种数分类讨论．涂色问题【例1】[思路探索]解法一(分步直接涂色法)第一步，给A区域着色有C15种方法．第二步，给B区域着色有C14种方法．第三步，给C区域着色．若用A区域的颜色，则D区域有C14种涂法．若C区域的颜色与A、B区域不同，则有C13种涂法，则D区域也有C13种涂法．故共有涂法C15·C14·(C14＋C13·C13)＝260(种)．法二(按用色种数分类)第一类：用5色中的两色，则A、C同色，B、D同色，共有C25·A22种涂法．第二类：用5色中的3色，选取3种颜色有C35种选法，三色中的一种颜色涂A，有C13种涂法，一种颜色涂B有C12种方法，若余下的一种颜色涂C，则D与B同色．若余下的一种颜色涂D，则C与A同色．故最后一种颜色有两种涂法．本类有C35·C13·C12×2种涂法．第三类：用5色中的4色，有C45·A44种涂法．由分类加法计数原理，共有涂法C25·A22＋C35·C13·C12×2＋C45·A44＝260(种)．2345553A+2A+A法——按涂色区域分类用4种不同的颜色涂入图中矩形A、B、C、D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有多少种？【训练1】ABCD解(分步涂色)第一步：给矩形A涂色有C14种方法．第二步：给矩形B涂色有C13种方法．第三步：给矩形C涂色有C12种方法．第四步：给矩形D涂色有C13种方法．由分步乘法原理得共有涂法为C14·C13·C12·C13＝72种．344422A+A=72法：三色或四色涂完(2)(2017·大同质检)如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()A．72种B．48种C．24种D．12种A【解析】(2)法一：首先涂A有4种涂法，则涂B有3种涂法，C与A，B相邻，则C有2种涂法，D只与C相邻，则D有3种涂法，所以共有4×3×2×3＝72种涂法．法二：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)．区域涂色问题1.根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有54342402、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A44A44A（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有（5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A（4）③与⑤同色、②与④同色，则有44A所以根据加法原理得涂色方法总数为例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？分析：依题意至少要用3种颜色2344412435A=242243524352A=48法：按区域分、同色且、同色，共种、同色且、异色或、异色且、同色共种由加法原理得3.根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。例4.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？涂色问题2.如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()A．400种B．460种C．480种D．496种C[解析]完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色．当使用4种颜色时：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6×5×4×3＝360(种)方法；当使用3种颜色时：A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有6×5×4＝120(种)方法．由分类加法计数原理可知：不同涂法有360＋120＝480(种)．4.根据相间区使用颜色的种类分类例5如图，6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可有多少种方法？•点的涂色问题方法：（1）可根据共用了多少种颜色或按涂色区域分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。面涂色问题例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论染色问题:•例3有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)区域中不用同一种颜色.•(1)若n=6,为(1)着色时共有多少种方法?•(2)若为(2)着色时共有120种不同方法,求n•①③①•④③④•②②•(1)(2)２、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,m1=3种,第二步,m2=2种,第三步,m3=1种,第四步,m4=1种,所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有N=3×2×1×1=6种。２、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢？答:它们的涂色方案种数分别是0、4×3×2×2=48、5×4×3×3=180种等。思考：３.如图,用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色,规定一个区域只涂一种颜色,相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有种。ABCD分析：如图，A、B、C三个区域两两相邻，A与D不相邻，因此A、B、C三个区域的颜色两两不同，A、D两个区域可以同色，也可以不同色，但D与B、C不同色。由此可见我们需根据A与D同色与不同色分成两大类。解：先分成两类：第一类，D与A不同色，可分成四步完成。第一步涂A有5种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法；第四步涂D有2种方法。根据分步计数原理，共有5×4×3×2＝120种方法。根据分类计数原理，共有120+60＝180种方法。第二类，A、D同色，分三步完成，第一步涂A和D有5种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法。根据分步计数原理，共有5×4×3＝60种方法。４、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如右图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有______种.（以数字作答）654321（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N1=4×3×2×2×1=48种；所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N2=4×3×2×2×1=48种；（3）②与④且③与⑥同色，则共N3=4×3×2×1=24种解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求6、将３种作物种植在如图所示的５块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有种（以数字作答）425、如图，是5个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反复使用，那么共有多少种涂色方法？222.35TextPB将种植物种在如图的块实验田里，每块试验田里只种一种植物并且相邻试验田不能种植同一种植物.则共有多少种不同的全部种植方法？①②③⑤337A