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地大（北京）2005高数期末试卷（A卷）一、单选题（4X3=12分）1.极限limx→∞11+ex=()a.0b.1c.不存在也不是∞d.∞2.设函数f(x)={x2sin1xx≠00x=0，则在x=0处f(x)().a.极限不存在b.极限存在但不连续c,连续但不可导d.连续且可导3.若函数f(x)二阶可导，且f(-x)=f(x)，又当x∈(0,∞)时，f’(x)0,f’’(x)0则在(-∞.0)上曲线y=f(x)是:()a.单调上升的凸曲线b.单调上升的凹曲线c.单调下降的凸曲线d.单调下降的凹曲线4.设I1=∫x3f(x2)a0dx(a0)，I2=∫xf(x)a20dx则有:()a.I1I2b.I1I2c.I1=I2d.2I1=I2二、填空题（5X3=15分）1.极限limx→0x−sinxx3=()2.已知∫f′(lnx)xdx=x2+C，则f(x)=()3.设f(x)=ddx(∫11+tdtx20)，则f(x)=()4.定积分I=∫(x2sin3x+│x│)dx=1−1（）5.同时垂直于向量a=(1,1,1,)，b=(1,1,0)的单位向量是（）。三、计算题(7X7=49分)1.lim（2x+32x+1）x+1x→∞2.已知f(x)连续，求limx→ax∫f(t)x0dtx−a3.设{x=ln(1+t2)y=t−arctant，求dydx,d2ydx24.∫x1+cos2xdx5.∫dxx2√1+x2√316.若f(x)={x+1x≤112x2x1，求∫f(x)dx207.∫xe−xdx+∞0四、解答题（2X9=18分）1.设函数y=f(x)由方程siny+xey=0所确定，求dy和y=f(x)在(0,0)处的切线方程。2.设有曲线y=4x-x2。（1）在该曲线上求一点，使曲线在该点的切线L平行于X轴。（2）求该曲线与上述切线L及y轴所围成的平面图形A的面积。（3）求上述平面图形A绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。五、证明题（6分）设函数f(x)在[1,2]上有二阶导数，且f(2)=0，又F(x)=x2f(x)，证明在区间(1,2)内有一点ξ使F’’(ξ)=0地大（北京）2005高数期末试卷（B卷）一、单选题（5X3=15分）1当时x→0，变量1xsin1x是()A无穷小量b无穷大量c.有界但不是无穷小量d无界但不是无穷大量2点x=0是函数f(x)=xarctan1x的().a连续点b.可去间断点c,跳跃间断点d.第二类间断点3若函数f(x)二阶可导，且f(-x)=f(x)，又当x∈(0,∞)时，f’(x)0,f’’(x)0则在(-∞.0)上曲线y=f(x)是:()a单调上升的凸曲线b单调上升的凹曲线c单调下降的凸曲线d单调下降的凹曲线4设I1=∫x3f(x2)a0dx(a0)，I2=∫xf(x)a20dx则有:()aI1I2bI1I2cI1=I2d2I1=I25设函数y=∫√sintdtx0(0≤x≤π)，则曲线y的弧长是（）A.1B.πc.π2D.4二、填空题（4X3=12分）1设limx→∞(1+2ax)x3，则a=()2已知f’(x0)存在，则limh→0f(x0+3h2)−f(x0)hsinh=()3定积分I=∫(2x2cos3x+│x│)dx=1−1（）4过点A(1,2,0)且与平面x+2y+3z-6=0垂直的直线方程为()三、计算题(7X7=49分)1limx−sinxx2sinxx→02y=ln√ex1+ex，求y’3设{x=2t+t2y=ln(1+t)，求dydx,d2ydx24∫xarctanxdx5∫x1+√xdx416若f(x)={x2x∈[0,)xx∈[1,2]，求ψ(x)=∫f(t)x0dt在[0,2]上的表达式。7∫xe−xdx+∞0四、解答题（2X9=18分）1设f(x)={1x(e2x−1)x0a+sinbxx≥0，试确定常数a,b的值，使f(x)在(-∞,+∞)上可导。2求曲线y=1-x2，y=x2，y轴所围成的第I象限部分图形的面积，并求该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。五、证明题（6分）设函数f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1。试证明存在一点ξ∈（0,3）使f’(ξ)=0地大（北京）2007高数期末试卷（A卷）一、选择题（每题3分，共24分）1.下列结论中，正确是：（）A.若limn→∞x2n=a，limn→∞x2n+1=a，则limn→∞x,n=aB.发散数列必然无界C.若limn→∞x3n−1=a，limn→∞x3n+1=a，则limn→∞x,n=aD.有界数列必然收敛。2.当x→1时，无穷小量1-x是2(1-√x)的（）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.通解但不等价无穷小3.f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)…(x-99)(x+100)，则f’(0)=()a.-100b.101!c.100d.100!4.设函数y=(x)的导数为cosx，且y（0）=1，则y(x)=()a.cosxb.sinxc.cosx+xd.sinx+x5.函数f(x)=1-x2在区间[-1.3]上满足拉格朗日中值定理，定理中的ξ=()a.0b.1c.-1d.26.若∫f(x)dx=2ex2+C，则f(x)=()a.2ex2b.4ex2c.ex2+Cd.ex27.设函数y=∫√sintπ0dt(0≤t≤π)，则曲线y的弧长是（）a.1b.πc.π4d.48.下列关于广义积分∫dxxp+∞0的说法正确的是（）a.当且仅当p1时收敛。b.当且仅当p=1时收敛。c.当且仅当p≦1时收敛。d.对任何p都不收敛。二、计算下列极限（每题6分，共12分）1.limx→+∞(√4x2+3x−2x)2.limx→0∫etdt−sinxx0x2sinx三、计算下列积分（每题7分，共24分）1.∫(x2+1)2dx2.∫x∙arctanxdx3.∫x+2√2x+1dx404.已知f(x)={x2+1x≥02e−xx0，求∫f(x)2−1dx四、设f(x)={e1x−1x0ln(1+𝑥)−1＜𝑥≤0，求f(x)的间断点，并说明间断点的所属类型。五求过点(2.0.-3)且与直线{x−2y+4z−7=03x+5y−2z+1=0垂直的平面方程。六、设y(x)是由方程xy+ey=1所确定的隐函数，求y’及y’’(0)。七、求曲线y=√x的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x=0，x=2所围成的平面图形的面积最小。八、证明方程∫√1+x4x0dx+∫e−x20cosxdx=0在[0,π2]内有且仅有一个实根。九、求曲线y=x2的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x=0，x=2所围成的平面图形的面积最小。十、设f(x)在[a.b]上可微，在(a,b)内二阶导数存在，且f(a)=f(b),f+′(a)f−′(b)0，证明存在ξ∈(a,b)使f’’(ξ)=0。地大（北京）2007高数考研试卷一单选题（每题7分，共21分）1、设f(x)=x2，ψ(x)=2x则f(ψ(x))=()A．2x2B.x2xC.x2xD.22x2当x→1时，与2arctanx−x2等价的无穷小量是（）A.4(x-1)B.2(x-1)C.x-1D.(x−1)23x=π是函数f(x)=xsinx的（）A.连续点B可去间断点C跳跃间断点D无穷间断点4设f(x)={x2+1x≤2x2+4x2则在x=2处函数f(x)()A不连续B连续且可导C可导但导数不连续D连续但不可导5当f’(x0)=0时，f’’(x0)0是函数y=f(x)在点x=x0处有极小值的（）A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要的条件6设函数f(x)连续，则ddx(∫f(x)dx)=()Af(x)dxBf(x)Cf(x)+C(C为常数)Df’(x)7y1=ex−1,y2=ex+2,y3=e3−x都是方程y’’-y=0的特解，则不是该方程的通解的是（）[c1,c2为任意常数]Ac1y1+c2y2+y3Bc1y1+y2+c2y3Cy1+c1y2+c2y3Dc1y1+c1y2+c2y3二填空题（每题4分，共24分）1limn→∞n2+n+1(n−1）2=()2limx→∞∫(arccott)2x0dt1+√1+x2=()3设y=cosx+xey，则│dydx│x=0=()4有曲线y=ex和直线y=x+1,x=1所围成的平面图形的面积为（）5∫cot3xdx=()6∫xdx√1+x0−1=()三计算题（每题7分，共42分）1设f(x)={(1+x)a2x,x02+x2,x≥0求常数a，使得函数f(x0在x=0处连续。2计算∫x2e−xln20dx3设y=coslnx+sinlnx，求x2y′′+xy′4计算∫√x2+1x4√31dx5求微分方程xdy-ylnydx=0满足条件y│x=1=e的特解。6设y=(x-1)√1+x1−x33，计算y’7设y=sinaxsinbx(a,b为常数)，求y(n)四12分求函数y=x(1−x)3的单调区间、极限及其图形的拐点。五9分若一直角三角形的一直角边与斜边长度之和为常数a，求面积最大的直角三角形的边长。六12分求方程y’’-y’-2y=e−x满足条件y│x=0=y′│x=0=0的特解。七9分若过点（1.1）的曲线在其上任一点(x,y)处的切线在纵轴上的截距等于切线到原点的距离的平方与切点的横坐标之比，求此曲线方程。八10分设由曲线y=1-x2,y=ax2(a0)所围成的平面图形绕y轴旋转所得旋转体的体积等于由曲线y=1-x2和x轴所围成的平面图形绕y轴旋转所得旋转体的体积的一半，求a的值。九11分设f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，0abπ2，证明在开区间(a,b)内至少存在两点ξ1ξ2，使得tanacos2ξ1f’(ξ1)=cotbsin2ξ2f′(ξ2)地大（北京）2007高数期末试卷（B卷）一填空题（6X4=24分）1.y=sin[sin(x2)],则dydx=（）2.已知∫a1+x2+∞−∞dx=π,a=()3.∫│lnx│e1edx=()4.y=ex过原点的切线方程为（）5.已知f(x)=ex，则∫f′(lnx)xdx=()6.A=(),b=(),点(1,3)是曲线y=ax3+bx2的拐点。二极限下列极限（6X6=36分）1.求y=(sinx)cosx得导数。2.求∫sinlnxdx3.求∫x+5√x2−1dx4.设f(x)={exx≥0xk+1x0在点(0,0)处可导，则k为何值？5.求极限limx→∞(1√n2+12+1√n2+22+⋯+1√n2+n2)6.过点（2,2,0）且与两直线{x+2y−z+1=0x−y+z−1=0和{2x−y+z=0x−y+z=0平行的平面方程。三解答下列各题（7X4=28分）1.设{x=Rcosty=Rsint，求d2ydx22.求F(x)=∫t(t−1)x0dt在[-1,2]上的最大值和最小值。3.设y=y(x)由方程x(1+y2)-ln(x2+2y)=0所确定，求y’(0)4.由y=x2与y2=x围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。四证明题（6X2=12分）1.证明过对曲线任何一点之切线与二个坐标轴所围成的三角形的面积为常数。2.设函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连续，证明至少存在一点ξ，使得f(ξ)∫g(x)dx=g(ξ)∫f(x)ξadxbξ地大（北京）2004高数期末试卷一选择题（10X2=20分）1.当x→0时，下列变量是无穷小量的有（）a.xsin1x2b1xsinxce−xd√1−x22.limx→∞(1+2x)x=()Ae2BeC√eD.∞3.limn→∞4n3−n+15n3+n2+n=()A0B4/5C1D∞4.函数y=x2+2x−3的单调减少区间是（）A(-1,+∞)B(-1,0)C(0,+∞)D(-∞,-1)5.下列函数中在点处可导的是（）A1xB│x│C1ex−1D│x│26.函数y=(x−2)2在(-∞,+