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同余问题学生版学而思内部资料第五讲同余问题--Da侠老师整理【知识要点】1.余数的加法定理1)a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.2)当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数即2.2.余数的乘法定理1)a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。2)当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理1)若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b(modm)，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。2)由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b(modm)，那么一定有a-b＝mk，k是整数，即m|(a－b)3)费马小定理：假如p是质数，且(a,p)=1，那么11(mod)pap。即：假如p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。同余问题学生版学而思内部资料【例1】有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数。【例2】若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_____。【例3】已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？【例4】20032与22003的和除以7的余数是________．【例5】1234200512342005除以10所得的余数？【例6】六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是______元．同余问题学生版学而思内部资料【例7】求12644319的余数【例8】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是5,2,aaa，求这个自然数和a的值.【例9】在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？