本科经济计量学第4章(第3版)

第4章：一些重要的概率分布(由4.1.5中心极限定理开始]第4章2第4章：一些重要的概率分布总结F分布4.5t分布4.4分布4.34.2正态分布4.12第4章34.1正态分布（normaldistribution）表示),(~2uNX密度函数正态变量的概率密度：14159.371828.221)(2)(212和方差分别是正态分布的均值和其中：uexfeux最重要的一种概率分布。连续型分布。第4章4正态分布的图形u68.3%95.4%99.7%第4章54.1.1正态分布的性质3.分布曲线下的面积约有68%位于之间；约95%位于之间。4.可由均值和方差两个参数来描述。5.两个或多个正态随机变量的线性组合仍服从正态分布。6.正态分布的偏度S=0，峰度K=3u2u68.3%95.4%99.7%1.分布曲线以均值为中心对称。2.分布曲线呈中间高、两边低，在均值最高。第4章6例4.1：令X表示在曼哈顿非商业区一花商每日出售的玫瑰花数量，Y表示在曼哈顿商业区一花商每日出售的玫瑰花的数量，假定X和Y服从正态分布，且相互独立，并有：X~N(100,64)，Y~N(150,81)，求两天内两花商出售玫瑰花数量的和的期望和方差？解：设随机变量W表示两天内两花商出售玫瑰花数量的和，则有：W=2X+2Y则因为X和Y相互独立，且都服从正态分布，所以W也服从正态分布，且期望为：E(W)=E(2X+2Y)=2E(X)+2E(Y)=200+300=500方差为：Var(W)=Var(2X+2Y)=4Var(X)+4Var(Y)=4*64+4*81=580所以：W~N(500,580)第4章74.1.2标准正态分布标准正态分布：均值为0，方差为1时的正态分布。当)1,0(~1,02NXu标准正态分布密度函数参考正态分布密度函数标准正态分布的性质任何给定均值和方差的正态变量X都可以转化为标准正态变量。用新变量Z替换：uXZ第4章8(a)(b)(c)同方差，不同均值不同方差，同均值不同方差，不同均值第4章9例4.2（掌握标准正态分布表的使用方法）变量X表示面包房每日出售的面包量，假定其服从均值为70，方差为9的正态分布，即X～N(70,9)，任给一天，求（1）出售面包数量大于75的概率。（2）出售面包数量小于等于75的概率。（3）出售面包数量在65与75之间的概率。（4）出售面包数量在大于75或小于65的概率。例3.10第4章10解：0475.04525.05.0)67.1()37075()75()75(ZPZPuuXPXP9525.00475.01)75(1)75(XPXP9050.04525.02)67.167.1()3707537065()7565(ZPuXPXP095.09050.01)7565(1PXP＝（1）（2）（3）（4）第4章114.1.3从正态总体中随机抽样可从一给定均值和方差的正态总体中生成一随机样本。也可以利用标准正态分布的随机样本，将它转化为不同均值和方差的正态分布。许多统计软件包都有从常用的概率分布获得随机样本的程序，称为随机数字生成器（randomnumbergenerators）。见Excel文件。第4章124.1.4样本均值的抽样分布或概率分布X随机抽样与简单随机样本随机抽样(randomsampling)：最常用的抽取样本的方法，它要求抽取的样本满足等可能性和独立性，即每一个个体被抽取的可能性是相等的，且样本各个体之间是相互独立的。这样抽样得到的样本被称为简单随机样本或独立同分布随机样本（i.i.d）。(Independentlyandidenticallydistributedrandomvariables)例：X1，X2，…，Xn是从一个正态总体N(u,σ2)中抽取的一个简单随机样本，则X1，X2，…，Xn是独立同分布的随机变量，同服从N(u,σ2)。第4章13统计量：不含未知参数的样本的函数。例如样本均值和样本方差。抽样分布：样本统计量的分布被称为抽样分布。例4.6：某总体服从正态分布，正态分布的均值为10，方差为4，即N(10,4)。从这个正态总体中抽取20个随机样本，每个样本包括20个观察值。对抽取的每个样本，计算得到其样本均值，因而可得到20个样本均值，见Excel文件。第4章14通过实例我们可以看出，正态分布的i.i.d样本的样本均值也服从正态分布。实际上，我们可以严格证明下面这一结论：正态分布的样本均值的抽样分布也是正态分布。且有)/,(~2nuNXnuXZ很容易利用标准正态分布表中计算某一给定样本均值大于或小于某一给定的总体均值的概率。利用变换公式：第4章15例4.7：令X表示某一型号汽车每消耗一加仑汽油所行驶的距离（英里）。已知X～N(20,4)，则对一个有25辆汽车组成的随机样本，求：（a）每消耗一加仑汽油所行驶的平均距离大于21英里的概率；（b）每消耗一加仑汽油所行驶的平均距离小于18英里的概率；（c）每消耗一加仑汽油所行驶的平均距离介于19和21英里之间的概率。第4章16所以)/,(~2nuNX)25/4,20(~NX0062.0)5.2()4.02021()21(X＝ZPuXPXP0)5()4.02018()18(ZPZPXP9876.04938.02)5.25.2()2119(ZPXP（a）（b）（c）解：第4章17则样本均值也服从正态分布，且其均值为u，方差为。),(~2nuNXnXXX,...,21n22，方差为均值为u若来自于的正态总体的随机样本。即有：前面已经知道：4.1.5中心极限定理如果样本不是来自于正态总体呢？第4章18),(~2nuNX如果样本（）是来自于任一总体（均值为u，方差为）的随机样本，当样本容量n无限增大时，其样本均值将趋于正态分布，且其均值仍为u，方差为。nXXX,,,212n2即：简言之，若样本容量足够大，则来自于任意分布总体的随机样本，其样本均值近似服从正态分布。这就是中心极限定理。第4章19(a)来自正态总体的样本(b)来自非正态总体的样本正态总体样本均值的抽样分布非正态总体样本均值的抽样分布第4章20这里假设的是总体的均值和方差都是已知的，如果总体均值已知，但总体方差未知，我们用样本方差代替总体方差，得到一个新的统计量，它将服从自由度为n-1的t分布。我们已知)1(~/ntnsXt)1,0(~/NnXZ4.2t分布第4章21k=120（正态）k=5k=10图3-9不同自由度下的t分布t分布的性质1.与标准正态分布相似，具有对称性。即偏度为零。2.均值为零，方差为3.t分布比标准正态分布峰低、两侧尾部厚一些。4.随着k的增大，t分布将越来越接近于标准正态分布。)2(kk第4章22例4-8（略）再回到例4-2。在15天内，出售面包的平均数量为74条（样本标准差为4条）。假定真实的期望值为70条，求15天内售出面包平均数量大于74条的概率？分析：假定真实的标准差已知，则可通过标准正态分布变量Z来回答此问题。但现在仅知道真实标准差的估计量S，我们利用t统计量来回答这个问题：)873.3()15/47074/()74(PtPnsuXPXP)1(~/);,70(~2ntnsXtNX解：第4章23注意在本例中，自由度为14=(15-1)，当自由度为14时，查表得：t值大于等于2.145的概率为0.025，t值大于等于2.624的概率为0.01，t值大于等于3.787的概率为0.001，因此，所求t大于3.873的概率小于0.001。第4章24例4-9：（略）上例中其它条件保持不变，现假定15天内出售面包的平均数量为72条，求大于此数量的概率？解：所求概率在0.025到0.05之间。)936.1()15/47072/()72(PtPnsuXPXP第4章25例4-10：（略）现假定15天内，出售面包的平均数量为68条，样本标准差为4，若真实的平均出售量为70条，求出售面包平均数量小于68条的概率？解：相应概率为0.025到0.05之间。)936.1|(|)7268(PtPXP例4-11：求每天出售面包的平均数量在68条与72条之间的概率？解：相应概率为0.90到0.95之间。)936.1()15/47068/()68(PtPnsuXPXP第4章26例4-12：（略）下面是1967-1990年间学生能力测试分数表：（见Excel文件：第4章）现抽取由10位男生语言能力测试分数组成的随机样本。其样本均值和方差分别为440.60和137.60，若真实均值为440.42，求样本均值大于440.60的概率。解：)0485.010/6.13742.44060.440()60.440(PtPXP查表可得，此概率大于0.25，小于0.5。第4章27分布23.4标准正态分布的平方服从自由度（degreesoffreedom,d.f.）为1的分布。2这里定义自由度是平方和中独立观察值的个数。若是k个相互独立、同分布的随机变量，其共同的分布为标准正态分布N(0,1)，则其平方和服从自由度为k的分布，即有：服从自由度为k的分布。kXXX,,,212kiikXXXXY12222212第4章28x概率密度k=2k=5k=10分布的性质21.取值范围从0到无限大。2.自由度越大，偏度越小。3.期望为K，方差为2K。4.若两分布E1，E2相互独立，则（E1+E2）～)(212kk第4章29例4-13（略）若自由度为30，求（1）观察到的分布值大于13.78的概率；（2）观察到的分布值大于18.49的概率；（3）大于50.89的概率？22解：见书P388，查表可得，三个概率分别为0.995，0.95和0.01。第4章30命题：若随机样本来自于方差为σ2的正态总体，其样本容量为n，样本方差为S2。可以证明：)1(~)1(222nSn第4章314.4F分布F分布（Fdistribution）是经济计量学中又一种重要的概率分布。定义：随机样本X1,X2,…,Xm来自于均值为u1，方差为的正态总体，其样本容量为m；随机样本Y1,Y2,…,Yn来自于均值为u2，方差为的正态总体，其样本容量为n，且这两个样本相互独立。2122定义：若，且X和Y相互独立，则有：)(~),(~22mYnX),(~//mnFmYnXF第4章32如果两总体同方差，有)1,1(~1)(1)(2222nmFnYYmXXSSFiiYX1,12222~//nmYYXXFSSF1)(;1)(2222nYYSmXXSiYiX令有：第4章33x概率密度F2,2F50,50F10,2F分布的性质1.F分布是右偏分布，取值为0到无限大。2.当自由度k1,k2逐渐增大时，偏度越小。3.t分布变量的平方服从分子自由度为1,分母自由度为k的F分布4.),(,1),(,1mnpnmpFF例如：)9,5(,10.0)5,9(,90.01FF第4章34例4-15：回到例4-12，假定男、女生的语言能力的测试分数均服从正态分布，根据得到的两个样本方差，能否认为两总体是同方差的？解：其实这是一个假设检验问题，要检验两总体是否同方差，可以利用F统计量。零假设：两总体同方差；备择假设：两总体方差不同。利用两个样本的样本方差计算得到F值为F=2.1353，在0.1的显著水平下，F(24、24）＝2.14的概率介于1％－5％之间，如果认为这个概率值太小，可认为在0.1的显著水平下，两总体的方差是不同的。第4章35例4-16：两个班级进行同样的经济计量学测试。一个班级有100名学生，另一个班级有150名学生。从第一个班级中随机抽取25个学生，从第二个班级中