现代设计方法-优化设计

1现代设计方法——优化设计、有限元AdvancedDesignMethods——DesignOptimizationandFiniteElementMethod天津大学机械工程学院2序论第一部分优化设计第一章优化设计的数学基础1.1矢量1.2矩阵1.3多元函数第二章优化设计的基本概念第三章一维优化3.1单峰函数3.2黄金分割法3.3对分法4.4二次插值法第四章多维无约束优化4.1直接法4.2鲍威尔法4.3梯度法（最速下降法）4.4牛顿法目录ADM3ADM目录第五章多维有约束优化5.1概述5.2网格法5.3罚函数法第六章优化设计建模第七章机械优化设计示例4ADM目录第二部分有限元引言第一章弹性力学简介1.1求和约定1.2应力与应变1.2.1应力1.2.2应变1.2.3小变形弹性理论基本方程第二章有限元理论基础2.1变分法原理2.1.1变分法第一定理2.1.2泛函极值的求解——欧拉方程2.1.3求解变分问题的近似计算法——李兹(Ritz)法2.2虚功原理（虚功方程）与能量泛函2.3插值及单元位移2.4弹性力学有限元的矩阵方程5ADM目录第三章平面问题有限元3.1平面问题基本方程及有限元矩阵方程3.1.1基本方程3.1.2有限元矩阵方程3.2三角形场应变单元3.2.1离散化3.2.2位移模式3.2.3应变3.4刚度矩阵3.4.1单元刚度矩阵3.4.2总体刚度矩阵的组装3.4.3总体位移向量3.5单元的等效节点力与总体载荷向量3.5.1单元的等效节点力3.5.2总体载荷向量6ADM目录3.6刚度方程求解3.6.1边界条件处理3.7有限元分析的实施步骤3.8有限元计算收敛性第四章轴对称问题有限元4.1基本方程4.1.1平衡方程4.1.2几何方程4.1.3物理方程4.2三角形截面环单元4.3轴对称问题的有限元矩阵表达式4.3.1单元刚度矩阵4.3.2组装总体刚度矩阵4.3.3单元等效节点力7ADM目录第五章等参数单元5.1平面等参元5.1.1坐标变换及位移5.1.2应变及应变矩阵5.1.3单元刚度矩阵5.1.4单元等效节点力5.1.5高斯积分5.1.6等参元的完备性和协调性5.2轴对称等参元5.2.1坐标变换及位移5.2.2应变及应变矩阵5.2.3单元刚度矩阵5.2.4单元等效节点力5.3等参元的应力、应变计算8第六章杆件系统第七章薄板弯曲问题第八章结构动力学问题8.1结构动力学微分方程8.2结构动力学虚功方程8.3结构动力学有限元矩阵方程8.4结构自由振动有限元矩阵方程——模态分析ADM目录9ADM序论设计？国际工业设计学会(InternationalCouncilSocietiesofIndustrialDesign)：“设计是一种创造性活动，它的目的在于决定产品的包括性能、过程、服务及整个生命周期各个方面的品质，以获得一种使生产者和消费者都能满意的整体”美国工程技术认证委员会（AccreditationBoardforEngineeringandTechnology）：“工程设计是为了满足目标要求而创造某种系统、部件或方法的过程。这是一个反复决策的过程，在这个过程中，需要应用基础科学、数学及工程科学来优化转换资源以实现特定目标”Wikipedia:(noun)aspecificationofanobject,manifestedbyanagent,intendedtoaccomplishgoals,inaparticularenvironment,usingasetofprimitivecomponents,satisfyingasetofrequirements,subjecttoconstraints;(verb,transitive)tocreateadesign,inanenvironment(wherethedesigneroperates)[设计是为了实现特定意图而制定的计划、方案、蓝图。。。10ADM序论传统设计vs现代设计直觉设计经验设计半理论半经验设计(传统设计)现代设计11ADM序论现代设计方法的基本内容：1.优化设计*2.CAD3.CAE——有限元分析*4.可靠性设计5.逆向设计6.模块化设计7.设计专家系统8.价值工程9.。。。12ADM第一章优化设计的数学基础1.1矢量Vector定义：有大小和方向的量1.1.1二维矢量x2x1P(x1,x2)P’(x1’,x2’)OTxxOPX],[''''21TxxOPX],[21TxxxxPP],['2'1'211.1.2n维矢量TnxxxOPX],...,,[2113ADM第一章优化设计的数学基础1.2矩阵1.2.1定义由一组数按一定次序排列成的具有m行n列的表mnmmnnaaaaaaaaaA............21222211121114ADM第一章优化设计的数学基础1.2.2逆矩阵Lattice若则B为A的逆矩阵逆矩阵的求法EBAAB1ABAAA*1A*为A的伴随矩阵15ADM第一章优化设计的数学基础1.2.3矩阵的正定与负定二次型对若133132232112233222211321222),,(321xxaxxaxxaxaxaxaxxxFAXXT0XanyXFXFXFXFXF)(0)(0)(0)(0)(A为正定；A为半正定；A为负定；A为半负定不定16ADM第一章优化设计的数学基础矩阵正、负定的判定对称矩阵A正定的充要条件：其行列式各阶主子式之值均大于0;对称矩阵A负定的充要条件：各阶主子式的值，应负、正交替地变化符号。1.3多元函数1.3.1梯度：函数增加最快的方向nixFXFTi,...,2,1,)(17ADM第一章优化设计的数学基础1.3.2多元函数的二阶偏导与海赛矩阵1.3.3函数的泰勒级数展开njixxFHji,...,2,1,,2XXHXXFXXFXFFXXXHXXXFXXXFXFTTTT)(21)()()())(()(21)()()()(00000000018ADM第一章优化设计的数学基础1.3.4多元函数极值极值定义：在X0点的某邻域内，若)(0X)()()()(00XFXFXFXFX0为严格极大值点；X0为严格极小值点；极值存在的必要条件：梯度为[0]T向量0)(0XF极值存在的充分条件：XXHXXXHXXFXFTTT)(21)(21)(000H(X0)正定，F(X0)为极小值；H(X0)负定，F(X0)为极大值。19ADM第二章优化设计的基本概念参数优化：优化结构的参数拓扑优化：优化拓扑结构1.设计变量•设计过程中，其数值可以改变的能够描述结构特性的独立变量。传动比，尺寸。。。2.目标函数•目标函数是比较和选择各种不同设计方案的量化指标，是设计变量的函数。质量，成本，利润，速度。。。],...,,[21nxxxX)(XF20ADM第二章优化设计的基本概念3.约束条件•对设计变量取值范围的约束。强度，刚度，固有频率。。。4.设计空间和可行域•设计空间：由设计变量构成的n维实空间•可行域：设计空间内，满足约束条件的子空间5.数学描述iiiiibxaXhXg0)(0)(不等式约束等式约束变量取值范围约束},...,2,1,0)(;,...2,1,0)(|{)(minpmmjXhmjXgXDRDXXFjjn21ADM第二章优化设计的基本概念6.例0)(0)(01)(02)(44)(min2413221221112221xXgxXgxxXgxxXgxxxXFX*X**F(X)等值线g1(X)g2(X)x1x2可行域227.注意事项•设计变量1）以主要影响因素作为设计变量；2）根据优化问题的特殊性选择设计变量；3）注意独立变量和相关变量，尽量不包括相关变量；4）变量群转换，减少变量数目，如变量在目标函数中以x1x2形式存在，可令y=x1x2；5）必须的设计变量不能遗漏；6）冗余变量——相关变量，齿轮设计变量为i,z,m,b，齿轮孔径为冗余变量。ADM第二章优化设计的基本概念23ADM第二章优化设计的基本概念•约束函数1）不能矛盾；2）可行域不能无界；3）避免多余约束；4）尽量给定设计变量取值上下界，缩小可行域；5）谨慎对待等式约束；6）近似约束——不能用精确数学表达式描述的约束的处理；7）不能遗漏必要的约束，如压簧优化设计忽略了工作状态下，相邻圈间间隙值约束；8）全部设计变量必须包含在约束函数集中。24ADM第二章优化设计的基本概念•目标函数1）目标函数必须包含全部或部分设计变量；2）当必须采用多目标优化时，可选择其中一个主要的目标作单目标优化，其它目标按满足一定值要求的约束处理，优化后在选另一目标优化；3）近似目标函数——借助实验数据处理建立目标函数；4）转移或替代目标函数，如以中心距作为减速器重量的替代目标函数；5）单体设计对象的多目标评价——设计变量和约束条件不变，建立多个不同的目标函数并分别优化，得到一组优化方案，优中择优；6）目标函数的规一化——minF(X)25ADM第二章优化设计的基本概念8.优化问题求解方法——搜索法9.收敛判据1）相邻两轮搜索得到的近似极值点“相对距离”小于某一小的正数；2）F(X)可微，则梯度绝对值小于某一小的正数。)()2()1()0(,......,,,nXXXX26ADM第三章一维优化•解析法•搜索法直接法（区间缩减法）：黄金分割法、对分法间接法（插值法）：二次插值、三次插值一维优化在多维优化中作用——确定最优步长1)(minRxxf)()()()1()()()()(minkkkkkkkSXXSXF273.1单峰函数3.1.1单峰函数•在给定区间内仅有一个极小值点的函数•多峰与单峰的关系多峰函数区间分割成数个单峰区间，按单峰函数求极值点•单峰函数极值点求解单值区间缩小，(x1+x2)/2为极值点ADM第三章一维优化0],[212,1xxxx28ADM第三章一维优化3.1.2初始单值区间确定算法•进退步法（探索步长加倍）单峰区间：[x2,x4][x5,x3]h2h4h4h2hhhx1x2x3x4x5x4x3x1x229ADM第三章一维优化•一阶导数法（f(x)连续可微）以h,2h,4h….，h0为步长，若f’(xk-2)0,f’(xk)0或f’(xk-2)0,f’(xk)0k=2则[xk-2,xk]或[xkxk-2]为单峰区间xk-2xk-1xkh2hf’0f’030ADM第三章一维优化3.2黄金分割法3.2.1区间缩小求解极值点的基本思路按一定规则在[a,b]内取两个点x1,x2ax1x2bax1x2bax1x2b(a)(b)(c)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)=f(x2)[a,b][a,x2][a,b][x1,b][a,b][a,x2]或[x1,b]31ADM第三章一维优化3.2.2取点规则——黄金分割法(0.618法，均匀缩短率对称取点)黄金分割：将一线段分割成两段，使得整段长度L与较长段x＝的比值等于较长段x与较短段L-x＝的比值Lax1x2bLLxLxLLxL)1(LL)1(LL)1(618.0215012LL)1()(618.0),(382.021abaxabax32ADM第三章一维优化3.2.3区间收缩参见3.21618.0lnlnlnln)(ababNabN33ADM第三章一维优化3.2.4收敛判据•常用判据1）2）3）4）•判据的使用1)、3)或2)、4)组合使用，并从a,b,(a+b)/2中选最优者4321)(/)()()()(/bfbfafbfafbbabaffabab34ADM第三章一维优化3.3对分法3.3.1中心对分法（可