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1实数竞赛卷一．选择题（共10小题）1．已知x是无理数，且（x+1）（x+3）是有理数，在上述假设下，有人提出了以下四个结论：（1）x2是有理数；（2）（x﹣1）（x﹣3）是无理数；（3）（x+1）2是有理数；（4）（x﹣1）2是无理数并说它们中有且只有n个正确的，那么n等于（）A．3B．1C．2D．42．设a=，b=，c=，d=，则a、b、c、d的平均数是（）A．0.7B．0.7777C．D．3．+=（）A．2B．1C．0D．﹣24．设S=19+199+1999+…+199…9（最后一个加数中有99个9），则S的末九位数字的和是（）A．19B．81C．16D．795．设a=，b=，c=﹣0.045，则（）A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．a＞b＞cD．b＞a＞c6．设实数P=，则P满足（）A．0＜P＜1B．1＜P＜2C．2＜P＜3D．P=7．若x=，则（）：（）=（）A．B．7：6C．x2：1D．x8．如果a+ab+b=，且b是有理数，那么（）A．a是整数B．a是有理数C．a是无理数D．a可能是有理数，也可能是无理数9．有四个命题：①如果两个整数的和与积都相等，那么这两个整数都等于2；②每一个角都等于179°的多边形是不存在的；③只有一条边的长大于1的三角形的面积可以等于；④若α，β是不相等的无理数，则αβ+α﹣β是无理数．其中正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．410．设a=1996，b=9619，c=1996，d=6199，则此四个数的大小关系为（）A．a＞b＞c＞dB．d＞a＞b＞cC．c＜d＜a＜bD．b＞c＞d＞a2二．填空题（共3小题）11．已知圆周率π=3.1415926…，则不大于π3的最大整数是_________．不小于π3的最小整数是_________．12．在平面直角坐标系中，点P的坐标是，m、n都是有理数，过P作y轴的垂线，垂足为H，已知△OPH的面积为，其中O为坐标原点，则有序数对（m，n）为_________（写出所有满足条件的有序数对（m，n））．13．若，则k=_________．三．解答题（共2小题）14．设α，β为有理数，γ为无理数，若α+βγ=0，求证：α=β=0．15．证明：是无理数．3实数竞赛数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知x是无理数，且（x+1）（x+3）是有理数，在上述假设下，有人提出了以下四个结论：（1）x2是有理数；（2）（x﹣1）（x﹣3）是无理数；（3）（x+1）2是有理数；（4）（x﹣1）2是无理数并说它们中有且只有n个正确的，那么n等于（）A．3B．1C．2D．4考点：有理数无理数的概念与运算。368876分析：根据x是无理数，且（x+1）（x+3）是有理数，得出x2+4x+3是有理数，再将选项中各式变形，再利用有理数与无理数的性质得出即可．解答：解：x是无理数，且（x+1）（x+3）=x2+4x+3，是有理数，（1）x2是有理数，则x2+4x+3为无理数，矛盾，故此选项错误；（2）（x﹣1）（x﹣3）=（x2+4x+3）﹣8x，而有理数减无理数仍为无理数，故此选项正确，（3）（x+1）2=（x2+4x+3）﹣2x﹣2是无理数；故此选项错误；（4）（x﹣1）2=（x2+4x+3）﹣6x﹣2是无理数；故此选项正确；∴正确的有：2个．故选：C．点评：此题主要考查了有理数与无理数的概念与运算，根据已知得出x2+4x+3是有理数再将选项各式使其出现x2+4x+3是解题关键．2．设a=，b=，c=，d=，则a、b、c、d的平均数是（）A．0.7B．0.7777C．D．考点：有理数无理数的概念与运算。368876分析：首先把循环小数化为分数，a==，b==，c==，d==，然后求a、b、c、d的平均数．解答：解：a==，b==，c==，d==，所以===．故选D．点评：本题主要考查有理数无理数的概念与运算的知识点，解答本题的关键是熟练掌握把循环小数化成分数的方法，此题难度不大．3．+=（）．A．2B．1C．0D．﹣2考点：有理数无理数的概念与运算。368876分析：先计算出第一项的指数，得到结果为偶数；第二项的指数运算结果为奇数，根据﹣1的偶次幂为1，奇次幂为﹣1，可得出最后结果．解答：解：∵235为偶数，532为奇数，∴=1，=﹣1，则=1+（﹣1）=0．故选C点评：本题主要考查有理数无理数的概念与运算的知识点，解答本题的关键是熟练掌握指数幂的运算性质，此题难度不大．44．设S=19+199+1999+…+199…9（最后一个加数中有99个9），则S的末九位数字的和是（）A．19B．81C．16D．79考点：有理数无理数的概念与运算。368876分析：首先可得19=20﹣1，199=200﹣1，1999=2000﹣1，…，199…9=2×1099﹣1，于是可以求出末尾九位数为222222220﹣99，进而求出S的末九位数字的和．解答：解：19=20﹣1，199=200﹣1，1999=2000﹣1，…，199…9=2×1099﹣1，故S=19+199+1999+…+199…9=20+200+2000+…+2×1099﹣99，末尾九位数为222222220﹣99=222222121，故S的末九位数字的和是2+2+2+2+2+2+1+2+1=16．故选C．点评：本题主要考查有理数无理数的概念与运算的知识点，解答本题的关键是分别把199…9写成2×10n﹣1的形式，此题难度不大．5．设a=，b=，c=﹣0.045，则（）A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．a＞b＞cD．b＞a＞c考点：有理数无理数的概念与运算。368876分析：首先把a=，b=化成小数，然后比较a、b和c的大小．解答：解：a=﹣=﹣0.041，b=﹣=﹣0.0，c=﹣0.045，故a＞b＞c．故选C．点评：本题主要考查有理数无理数的概念与运算的知识点，解答本题的关键是把分数化成小数，此题难度一般．6．设实数P=，则P满足（）A．0＜P＜1B．1＜P＜2C．2＜P＜3D．P=考点：有理数无理数的概念与运算。368876分析：首先估算出1.5＜＜1.6，1.8＜＜1.9，2＜＜2.1，然后计算出P=的范围．解答：解：∵1.5＜＜1.6，1.8＜＜1.9，2＜＜2.1，∴1＜＜2．故选B．点评：本题主要考查有理数无理数的概念与运算的知识点，解答本题的关键是对、和进行估算，此题难度不大．7．若x=，则（）：（）=（）A．B．7：6C．x2：1D．x考点：有理数无理数的概念与运算。368876分析：首先根据x=，求出=﹣，然后代值进行化简即可．解答：解：∵x=，∴=﹣，∴（）：（）=（++﹣）：（+﹣+）=．故选A．点评：本题主要考查有理数无理数的概念与运算的知识点，解答本题的关键是分母有理化，此题难度不大．8．如果a+ab+b=，且b是有理数，那么（）A．a是整数B．a是有理数C．a是无理数D．a可能是有理数，也可能是无理数考点：有理数无理数的概念与运算。368876分析：先把等式两边同时除以ab，进而可得到a+b=（1﹣ab），再根据等式一边出现无理数则a，b中必有一个数为无理数即可进行解答．5解答：解：∵a+ab+b=，∴a+b=（1﹣ab）等式一边出现无理数，若a，b均为有理数，则等式恒不成立，又∵b为有理数，∴a必为无理数．故选C．点评：本题考查的是有理数及无理数的概念及运算，能把原式化为a+b=（1﹣ab）的形式是解答此题的关键．9．有四个命题：①如果两个整数的和与积都相等，那么这两个整数都等于2；②每一个角都等于179°的多边形是不存在的；③只有一条边的长大于1的三角形的面积可以等于；④若α，β是不相等的无理数，则αβ+α﹣β是无理数．其中正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：有理数无理数的概念与运算；三角形的面积；多边形内角与外角。368876分析：根据整数的运算，多边形的内角、三角形的面积及有理数与无理数的知识，分别判断各选项即可得出答案．解答：解：①如果两个整数的和与积相等，那么这两个整数都等于0或2，故命题错误；②每一个角都等于179°的多边形是360边形，是存在的，故命题错误；③当三边长分别为1、1、时，满足面积等于，且只有一条边大于1，故命题正确；④只要令α=1+，β=﹣1+，则αβ+α﹣β为有理数，故命题错误．综上可得③正确，共1个．故选A．点评：本题综合考查了有理数及无理数的运算，三角形的面积及多边形的内角与外角的知识，关键是熟练整数的四则运算，三角形的面积计算，多边形的内角和定理的理解和运用，有一点的难度．10．设a=1996，b=9619，c=1996，d=6199，则此四个数的大小关系为（）A．a＞b＞c＞dB．d＞a＞b＞cC．c＜d＜a＜bD．b＞c＞d＞a考点：有理数无理数的概念与运算。368876分析：由a=1996=36148，可判断出a和b的大小关系，将d变成216，可判断出c和d的大小，进而结合选项利用排除法即可得出答案．解答：解：a=1996=36148，b=9619，∴a＞b，又∵c=1996，d=，∴d＞c，结合选项可得只有B符合．点评：本题考查了有理数无理数的概念及计算，关键是将幂指数转化为底数使底数改变，从而达到比较大小的目的，有一定的技巧，难度较大．二．填空题（共3小题）11．已知圆周率π=3.1415926…，则不大于π3的最大整数是31．不小于π3的最小整数是32．考点：有理数无理数的概念与运算。368876分析：根据圆周率π=3.1415926…，把π精确到千分位可得π=3.142，求出精确后圆周率的三次方，进而求出不大于π3的最大整数和不小于π3的最小整数．解答：解：已知圆周率π=3.1415926…，把π精确到千分位可得π=3.142，故3.1423≈31.018，故不大于π3的最大整数是31，不小于π3的最小整数是32，故答案为31、32．点评：本题主要考查有理数无理数的概念与运算的知识点，熟练掌握整数的性质，此题比较简单．12．在平面直角坐标系中，点P的坐标是，m、n都是有理数，过P作y轴的垂线，垂足为H，已知△OPH的面积为，其中O为坐标原点，则有序数对（m，n）为（﹣1，2），（2，﹣1），（﹣2，1），（1，﹣2）（写出所有满足条件的有序数对（m，n））．考点：有理数无理数的概念与运算；点的坐标；三角形的面积。368876分析：由△OPH的面积为，根据三角形的面积公式可以得到：×（+m）（+n）=±，然后根据m，n是有理数就可以求出m，n的值，最后求出有序数对（m，n）．解答：解：∵S△OPH=，∴×（+m）（+n）=±，∴2+（m+n）+mn=±，6∴（m+n﹣1）+mn+2=0或（m+n+1）+mn+2=0，∵m，n都是有理数，∴或，解得：，，，；∴有序数对（m，n）为：（﹣1，2），（2，﹣1），（﹣2，1），（1，﹣2）．故答案为：（﹣1，2），（2，﹣1），（﹣2，1），（1，﹣2）．点评：此题考查了有理数的概念，点的坐标以及三角形的面积问题．此题难度较大，解此题的关键是利用了m，n是有理数来得到关于m，n的方程．13．若，则k=3+﹣．考点：有理数无理数的概念与运算。368876分析：先去分母，再将等式的右边计算出来，然后化简，再计算出k的值．解答：解：原式可化为+k﹣2=（+）（+）（﹣），即+k﹣2=3﹣2+﹣2，∴k=3+﹣3，即k=3+﹣．故答案为3+﹣．点评：本题考查了无理数的运算，熟悉二次根式的加减乘除混合运算是解题的关键．三．解答题（共2小题）14．设α，β为有理数，γ为无理数，若α+βγ=0，求证：α=β=0．考点：有理数无理数的概念与运算。368876分析：此题从正面很难证明，故可利用反证法，假设β≠0，用α、β表示出γ的值，再根据α，β为有理数即可得出与γ为无理数相矛盾，故可得出β=0，再代入已知代数式即可求出α的值．解答：证明：假设β≠0，∵α+βγ=0，（1）∴γ=﹣，又∵α，β为有理数，∴γ为有理数，与γ为无理数矛盾．∴假设不成立．∴β=0．代入（1）得，