MBA数学基础阶段讲义

数学讲义第一章实数的概念性质和运算（甲）内容要点一、充分条件定义：如果条件A成立，那么就可以推出结论B成立。即AB，这时我们就说A是B的充分条件。例如：A为x0,B为x20.由x0x20A是B的充分条件.MBA联考数学中有一类题目叫做“充分性判断题”：本题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论.（而不必考试条件是否必要）在这类题目中有五个选项，规定为（A）条件（1）充分，但条件（2）不充分；（B）条件（2）充分，但条件（1）不充分；（C）条件（1）和（2）单独都不充分，但联合起来充分；（D）条件（1）充分，条件（2）也充分；（E）条件（1）和（2）单独都不充分，联合起来也不充分.二、实数1、数的概念和性质（1）自然数N、整数Z、分数mn（百分数%）（2）数的整除：设a,b∈Z且b≠0若P∈Z使得a=pb成立，则称b能整除a，或a能被b整除，记作b︱a,此时我们把b叫做a因数，把a叫做b的倍数。定理（带余除法），设a,b∈Z,且b0,则P，r∈Z使得a=bP+r，0≤rb成立，而且P、r都是惟一的，P叫做a被b除所得的不完全商，r叫做a被b除所得到的余数.(3)质数与合数质数：如果一个大于1的整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（或素数）.例如：2、3、5、7、、、.合数：一个大于1的正整数，除了能被1和本身整除外，还能被其他正整数整除.这样的正整数叫做合数.例如：4、6、9、、、.(4)有理数与无理数有理数，整数、有限小数和无限循环小数，统称为有理数.无理数；无限不循环小数叫做无理数.（5）实数；有理数和无理数统称为实数，实数集用R表示.2、实数的基本性质：（1）实数与数轴上的点一一对应.（2）a，b∈R，则在ab，a=b,ab中只有一个关系成立.（3）a∈R,则a2≥0.3、实数的运算.实数的加、减、乘除四则运算符合加法和乘法运算的交换律，结合律和分配律。下面讨论实数的乘方和开方运算（1）乘方运算当a∈R，a≠0时，a0=1，a-n=1na,负实数的奇数次幂为负数；负数的偶次数幂为正数。（2）开方运算在实数范围内，负实数无偶次方根；0的偶次方根是0；正实数的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的偶次方根称为算术根。在运算有意义时，nmnmaa三、绝对值１、定义实数a的绝对值，用︱a︱表示几何意义：数轴上表示数a的点Ａ到原点Ｏ的距离。２、性质（１）︱a︱≥０（２）︱–a︱=︱a︱（３）–︱a︱≤a≤︱a︱（４）x0aaaxa︱︱xaxaxa或（５）abab︱︱︱︱︱︱（６）bbaa（a≠0）（７）︱a+b︱≤︱a︱+︱b︱,当且仅当a,b同号时，等式成立．（８）︱a-b︱≥︱a︱-︱b︱,当且仅当a,b同号时，等式成立.（９）a∈R时，︱a︱2=a2四、平均值１、算术平均值：n个数12,,...,nxxx的算术平均值为121...1nniixxxxxnn２、几何平均值：n个正数12,,..nxxx,的几何平均值为123...1nnnnGxxxxiix五、比和比例１、比的意义：两个数相除，又叫做这两个数的比记做:ab、即:aabb＝a叫做比的前项，b叫做比的后项，若ab的商为k则称k为a:b的值。2、比的性质（1）a:b=ka=kb（2）a:b=ma:mb(m≠0)3、百分比把比值表示成分母为100的分数，这个数就称为百分比或百分率，如1:2=50%a:b=r%常表述为a是b的r%,即a=br%.4、比例的定义如果两个比a:b和c:d的比值相等，就称a、b、c、d成比例，记作a:b=c:d或ab=cda和d叫做比例的外项，b和c叫做比例的内项。当a:b=b:d时，称b为a和d的比例中项即b2=ad（乙）典型例题一、充分条件判断，举例1、方程x2-5x+6=0(1)x=2(2)x=1解:将(1)x=2代入方程,22-52+6=0满足方程.条件(1)充分.将(2)x=1代入方程12-51+6=20条件(2)不充分.答案应选A注:若比题题干不变所给出的条件有如下变化时:2560.xx(一)(1)x=1,(2)x=3答案应选B(二)(1)x=2(2)x=3答案应选D(三)(1)x=0(2)x=1答案应选E2、等式x=y成立(x,y实数)(1)x2=y2(2)x和y同号解:由x2=y2x=y或x=-y条件(1)不充分.x和y同号时,可能x-y,条件(2)不充分.但条件(1)与(2)联合起来,x2=y2且x与y同号x=y故答案选C3、将一篇文章录入讲算机,录入员甲比录入员乙效率高(1)录入员甲与录入员丙合作,需3小时完成;(2)录入员乙与录入员丙合作,需4小时完成;解:设甲单独录入需x小时录完,乙单独录入y小时录完.由条件(1)丙每小时录入量为13-1x,再由条件(2)得1y+(13-1x)=141x=1y+1121x1y即:甲每小时完成的工作量大于乙每小时完成的工作量.即:甲的效率比乙高,此题应选C二、实数5、从1到105的自然数中，能被3整除或被5整除的数的个数是（）（A）58个（B）57个（C）56个（D）49个（E）47个解：能被3整除的数可表示为3k，k=1，2、、、、35是1到105能被整除的数.能被5整除的数可表示为5k,k=1,2、、、、,21是1到105能被整除的数.3和5的最小公倍数是15既能被3整除,又能被5整除的数一定是15的倍数,可表示为15k，k=1,2、、、、、7是从1到105中能被15整除的数,从而能被3整除或被5整除的个数为35+21－7=49个答案是D5、（充分性判断）（2009年10月考题）m是一个整数。（1）若m=pq，其中p与q为非零整数，且m2是一个整数。（2）若m=pq，其中p与q为非零整数，且243m是一个整数。解：由条件（1），若m=pq，知m是有理数，又m2是一个整数，即有理数的平方是整数，则该有理数m必是一个整数，条件（1）充分由条件（2），若m=pq，知m是有理数，又243m=z是一个整数,即2m+4=3z=343z故m不一定是一个整数,条件(2)不充分,故选A.6、（2008年10月考试）一个大于1的自然数的算术平方根为a，则与这个自然数左右相邻的两个自然数的算术平方根分别为（）(A)a-1，a+1(B)1a，1a(C)1a，1a，（D）21a，21a（E）21a,21a解：设n是大于1的自然数，na则2na1n,1n分别为21a，21a，从而1n，1n的算术平方根分别为21a，21a故选D7、把无理数13记作a，它的小数部分记作b则4ab等于（）（A）-1（B）1（C）-2（D）2（E）-3解：因为91316所以3134,故13的整数部分是3,即b=a-3.所以244341331349313333133133aaaabaa,答案选E三、绝对值8、已知︱6xy︱+(4xy)2=0,则logyx=_______解：由260,(4)0xyxy608402xyxxyylog28=3答案：39、求适合下列条件的所有x的值（1）6x︱︱=10（2）6x︱︱9（3）61x︱︱解：（1）610164xxx得或（2）969315xx（3）616157xxxx或或10、已知3113,22xxx︱︱=求的取值范围.解:已知等式可能简化表示为︱a︱=-a,应有a0由311023xx所以x取值范围是1(,]3x11、（2001年考题）已知︱a︱=5,︱b︱=7,ab0则︱a-b︱=()（A）2（B）-2（C）12（D）-12（E）6解：由0ab则可知0,00,0abab或当00ab时时由︱a︱=5︱b︱=7得a=-5b=7从而︱a-b︱=︱-5-7︱=12当a0,b0时得a=5,b=-7从而︱a-b︱=︱5-(-7)︱=12所以答案选C12、（充分性判断）方程f(x)=2有且只有一个实根（1）()3fxx︱︱+2(2)()fx︱x-3︱解：由（1）得+2=23x得30x，x＝3，条件（1）充分由（2）32x，此方程有两个实根：11x25x所以条件（2）不充分，此题应选A13、（充分性判断）（2003年考题）不等式2xx︱︱+︱4-︱s无解（1）2s(2)2s解：224xxxx︱︱+︱4-︱︱︱=2即2xx︱︱+︱4-︱的最小值为2，显然当2s，不等式无解，即条件（1）充分当2s时，不等式有解，即条件（2）不充分，所以选A三平均值14、将一长为a的线段截成为x和a-x，使x恰是a与a-x的几何平均值，我们称对任意一个量a的这种分割为黄金分割，试求x解：由已知，得()xaax两边平方整理得220xaxa152xa舍去负值，即150.6182xaa15、（问题求解）车间共有40人，某次技术操作考核的平均值成绩为80分，某中男工平均成绩为83分，女工平均成绩为78分，该车间有女工（）（A）16人（B）18人（C）20人（D）22人（E）24人解：设该车间有女工x人，则有男工（40-x）人由已知女工的平均成绩为78分，女工所得总分为804083(40)83120xx故831207824xxx故此题应选E16、（2006年考题）如果123,,xxx三个数的算术平均值为5，则1232,3,6xxx与8的算术平均值为（）（A）134（B）162（C）7（D）172（E）195解：由已知12353xxx即12315xxx因此123123(2)(3)(6)813287444xxxxxx所以选C17、（充分性判断）a与b的算术平均值为8（1）a,b为不等的自然数，且1a，1b的算术平均值为16（2）a,b为自然数，且1a，1b的算术平均值为16解：由条件（1）知1111()3()26ababab又因a,b是自然数，故a,b中至少有一个是3的倍数不妨设a为3的倍数，即a=3k(k为自然数)则31kbk由于k与k-1互质，所以k-1必为3的约数.又因a3所以k-10因此k-1=1或k-1=3即k=2或k=4当k=2时a=6,b=6,此时a,b的算术平均值为6不是8当k=4时a=12,b=4此时82abab故所以条件（1）充分，条件（2）不充分，故选A18、试判断x与xxx︱︱与︱︱三个数的算术平均值与x的大小关系解：因为x︱x︱有意义，所以0xxx︱︱=-于是算术平均值()()333xxxxxxxxxm︱︱+︱︱0m0x所以mx(当且仅当0x时等号成立)四比和比例19、设111::3:4:5,xyz求使141xyz成立的z值解：由已知条件，设1113,4,5tttxyz所以111,,345xyzttt代入141xyz得111141345ttt1180t所以11803655zt20、一公司向银行借款31万元，欲按111::235的份额分配给下属甲、乙、丙三个车间进行技术改造，求甲车间应得的款数.解：