《名师伴你行》2016级数学一轮复习 第九章 直线与圆锥曲线的位置关系

名师伴你行2016级高考数学一轮复习课件§9.8直线与圆锥曲线的位置关系[高考调研明确考向]考纲解读考情分析•掌握与圆锥曲线有关的最值、定值、参数范围等问题.•直线与圆锥曲线的位置关系、弦长问题、中点弦、最值范围、定点定值的探索与证明是命题的热点．•题型以解答题为主，注重数学思想与方法的考查．难度较大.知识梳理1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：□1____________，□2__________________及有两个□3____________.(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0.由Ax＋By＋C＝0，fx，y＝0，消元．(如消去y)得ax2＋bx＋c＝0.①若□4______，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．②若a≠0，设Δ＝b2－4ac.a．当□5______时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b．当□6______时，直线和圆锥曲线相切于一点；c．当□7______时，直线和圆锥曲线没有公共点．2．直线与圆锥曲线相交时的弦长公式(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长：|P1P2|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋1k2[y1＋y22－4y1y2]＝□8__________________________.(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用坐标轴上两点间距离公式)．3．弦中点问题遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x2a2＋y2b2＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝□9________________；在双曲线x2a2－y2b2＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝□10__________；在抛物线y2＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率□11________________.在使用根与系数关系时，要注意使用条件是Δ≥0.答案：□1无公共点□2仅有一个公共点□3相异的公共点□4a＝0□5Δ＞0□6Δ＝0□7Δ＜0□81＋1k2|y1－y2|□9－b2x0a2y0□10b2x0a2y0□11k＝py0名师微博●一种方法点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．●一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.基础自测1.直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．答案：A2．若不论k为何值，直线y＝k(x－2)＋b与曲线x2－y2＝1总有公共点，则b的取值范围是()A．(－3，3)B．[－3，3]C．(－2,2)D．[－2,2]解析：直线过(2，b)点，∵x＝2时，y2＝x2－1＝3，∴y＝±3.∴b∈[－3，3]．答案：B3．直线y＝x＋1截抛物线y2＝2px所得弦长为26，此抛物线方程为()A．y2＝－2xB．y2＝6xC．y2＝－2x或y2＝6xD．以上都不对解析：由y＝x＋1，y2＝2px得x2＋(2－2p)x＋1＝0.x1＋x2＝2p－2，x1x2＝1.∴26＝1＋12·x1＋x22－4x1x2＝2·2p－22－4.解得p＝－1或p＝3，∴抛物线方程为y2＝－2x或y2＝6x.答案：C4．椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A、B两点，若过原点与线段AB中点的直线的倾斜角为30°，则ab的值为()A.34B.33C.32D.3解析：设AB的中点为M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2,y2)，由点差法得y1－y2x1－x2＝－ax0by0＝－1，所以ax0by0＝1.又y0x0＝tan30°＝33，所以ab＝33.答案：B5．椭圆x24＋y22＝1中过点P(1,1)的弦恰好被P点平分，则此弦所在直线的方程是__________．解析：设弦的两个端点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得14(x1＋x2)(x1－x2)＋12(y1＋y2)(y1－y2)＝0.又x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，代入得y1－y2x1－x2＝－12.故所求直线方程为y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝0[例1](2012·合肥模拟)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.－12，12B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4]考点一直线与圆锥曲线的位置关系解析：由题意得Q(－2,0)．设l的方程为y＝k(x＋2)，代入y2＝8x得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，∴当k＝0时，直线l与抛物线恒有一个交点；当k≠0时，Δ＝16(k2－2)2－16k4≥0，即k2≤1，∴－1≤k≤1，且k≠0，综上－1≤k≤1.答案：C方法点睛研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．变式训练1若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数是()A．至多为1B．2C．1D．0解析：由题意知：4m2＋n2＞2，即m2＋n2＜2，∴点P(m，n)在椭圆x29＋y24＝1的内部，故所求交点个数是2个．答案：B[例2]若直线l与椭圆C：x23＋y2＝1交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB面积的最大值．考点二圆锥曲线中的弦长及中点弦问题解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)当AB⊥x轴时，|AB|＝3；(2)当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.由已知，得|m|1＋k2＝32，即m2＝34(k2＋1)．把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理，得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0.∴x1＋x2＝－6km3k2＋1，x1x2＝3m2－13k2＋1.∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝(1＋k2)·36k2m23k2＋12－12m2－13k2＋1＝12k2＋13k2＋1－m23k2＋12＝3k2＋19k2＋13k2＋12＝3＋12k29k4＋6k2＋1.当k≠0时，上式＝3＋129k2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝4，当且仅当9k2＝1k2，即k＝±33时等号成立．此时|AB|＝2；当k＝0时，|AB|＝3，综上所述|AB|max＝2.∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值Smax＝12×|AB|max×32＝32.方法点睛当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，则|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|，而|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．变式训练2椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB＝22，OC的斜率为22，求椭圆的方程．解析：方法一：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.而y1－y2x1－x2＝－1，y1＋y2x1＋x2＝kOC＝22，代入上式可得b＝2a.再由|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝2|x2－x1|＝22，其中x1、x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，故2ba＋b2－4·b－1a＋b＝4，将b＝2a代入得a＝13，∴b＝23.∴所求椭圆的方程是x23＋2y23＝1.方法二：由ax2＋by2＝1，x＋y＝1，得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|＝k2＋1x1－x22＝2·4b2－4a＋bb－1a＋b2.∵|AB|＝22，∴a＋b－aba＋b＝1.①设C(x，y)，则x＝x1＋x22＝ba＋b，y＝1－x＝aa＋b，∵OC的斜率为22，∴ab＝22，代入①，得a＝13，b＝23.∴椭圆方程为x23＋23y2＝1.[例3]在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x23＋y2＝1.如图所示，斜率为k(k＞0)且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x＝－3于点D(－3，m)．考点三圆锥曲线中的最值与定值问题(1)求m2＋k2的最小值；(2)若|OG|2＝|OD|·|OE|，求证：直线l过定点．解析：(1)设直线l的方程为y＝kx＋t(k＞0)，由题意，t＞0.由方程组y＝kx＋t，x23＋y2＝1，得(3k2＋1)x2＋6ktx＋3t2－3＝0.由题意Δ＞0，所以3k2＋1＞t2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得x1＋x2＝－6kt3k2＋1，所以y1＋y2＝2t3k2＋1.由于E为线段AB的中点，因此xE＝－3kt3k2＋1，yE＝t3k2＋1，此时kOE＝yExE＝－13k.所以OE所在直线方程为y＝－13kx.又由题设知D(－3，m)，令x＝－3，得m＝1k，即mk＝1，所以m2＋k2≥2mk＝2，当且仅当m＝k＝1时上式等号成立，所以由Δ＞0得0＜t＜2，因此当m＝k＝1且0＜t＜2时，m2＋k2取最小值2.(2)由(1)知OD所在直线的方程为y＝－13kx，将其代入椭圆C的方程，并由k＞0，解得G－3k3k2＋1，13k2＋1.又E－3kt3k2＋1，t3k2＋1，D－3，1k，由距离公式及t＞0得|OG|2＝－3k3k2＋12＋13k2＋12＝9k2＋13k2＋1，|OD|＝－32＋1k2＝9k2＋1k，|OE|＝－3kt3k2＋12＋t3k2＋12＝t9k2＋13k2＋1，由|OG|2＝|OD|·|OE|，得t＝k，因此直线l的方程为y＝k(x＋1)，所以直线l恒过定点(－1,0)．方法点睛(1)证明直线过定点或证明某些量为定值的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值．这种方法往往难度较大，运算量较大，且思路不好寻找；二是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．(2)求范围的方法同求最值及函数的值域的方法类似，求最值常见的解法有两种：代数法和几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值．变式训练3已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4,0)．(1)若点F到直线l的距离为3，求直线l的斜率；(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．解析：(1)由已知，直线l的方程为x＝4时不合题意．设直线l的方程为y＝k(x－4)，由已知，抛物线的焦点坐标为(1,0)，因为