第2章 复变函数与解析函数.

第二章复变函数与解析函数§2.1复变函数一.复变函数的概念1.定义:复变函数:设G是复平面一点集,若对于G中任一点z按照某种对应法则,有确定的(一个或多个)复数w与之对应,则称w是定义在G上的复变函数,简称复变函数,记作w=f(z).其中z称为自变量,w称为因变量.(定义域与值域可从高等数中移植过来)2.分类:单值函数:若对每一z∈G,有惟一w同其对应则称w=f(z)为单值函数;多值函数:不是单值函数的函数.3.注:∵设z=x+iy,w=u+iv,则w=f(z)可写成W=f(z)=u+iv=u(x,y)+iv(x,y)其中U(x,y)与v(x,y)为实值函数.分开上式的实部与虚部,得u=u(x,y),v=v(x,y)(1)w=f(z)相当于一对二元实函数(2)其性质取决于u=u(x,y)与v=v(x,y)的性质.例1将定义在复平面上的复变函数化为一对二元实变函数.解设，,代入得比较实部与虚部得，12zwiyxzivuw12zwivuw1)(2iyx2212xyixy122yxuxyv2例2将定义在复平面除原点区域上的一对二元实变函数，（）化为一个复变函数.解设，，则将，以及得222yxxu22yxyv022yxiyxzivuw222yxiyxivuw)(21zzx)(21zziyzzyx22)0(2123zzzw二.复变函数的极限与连续性1.极限:1)定义设函数f(z)在的去心邻域内有定义，若对任意给定的正数（无论它多么小）总存在正数，使得适合不等式的所有z，对应的函数值f(z)都满足不等式则称复常数A为函数f(z)当时的极限，记作或0z)()(00zzAzf)(0zzAzfzz)(lim0)()(0zzAzf2)注1)z可以任意方式趋近于.2)与在处有无定义无关0z0z3)运算法则:类似于实函数极限的运算法则.例BAzgzfABzgzfBAzgzfBzgAzfzzzzzzzzzz)()(lim,)()(lim)]()([lim)(lim,)(lim00000设4)计算方法:可归结为求二元实函数对的极限.定理设，则的充分必要条件为:注:求极限方法种类：1、转化为求两个二元实函数u=u(x,y),v=v(x,y)的极限问题.2、按一元函数f(z)求极限方法计算。),(),()(yxivyxuzf000iyxz00)(lim0ivuAzfzz000lim(,)xxyyuxyu000lim(,)yyxxvxyv•例1试求下列函数的极限.（1）解:法1设，则，且得zziz1limiyxziyxzzziyxiyx2222222xyxyixyxy1limzizziyxxyiyxyxyyxx221222212limlim11法21limzizziiizziziz11limlim11(2)解11lim1zzzzzz1)1)(1(lim1zzzz1lim(1)2zz11lim1zzzzzz2.连续1)定义:设f(z)在点的某邻域内有定义,若,则称函数f(z)在点处连续.若f(z)在区域D内每一个点都连续,则称函数f(z)在区域D内连续.注:连续的条件:(1)在处有定义;(2)处的极限值等于该点的函数值.0z0z)()(lim00zfzfzz0z0z2)连续充要条件:定理函数,在处连续的充要条件是和都在点处连续.),(),()(yxivyxuzf000iyxz),(yxu),(yxv),(00yx3)连续函数性质:①在连续的两个函数f(z)与g(z)的和,差,积,商(分母在不为0)在处连续;②若函数在点处连续，函数在连续，则复合函数在处连续（证略）.0z)(zgh0z)(hfw)(00zgh)]([zgfw0z0z0z例3求解:因为在点处连续，故21limzziz21zziz1lim2zizz55321iii§2.2解析函数一.复变函数的导数1.定义1设函数f(z)在包含的某区域D内有定义,当变量z在点处取得增量时,相应地，函数f(z)取得增量若极限存在有限的极限值A,则称f(z)在点处可导,A记作或即:如果函数f(z),区域每一点都可导,则称f(z)在D内可导.)(0zf0z0zz)(0Dzz)()(00zfzzfwzzfzzfz)()(lim0000z0zzdwdz0()fz0zzdwdz000()()limzfzzfzz定义2:也称为f(z)在处的微分,故也称f(z)在处可微.dxzfxzfzdf)()()(0'0'0或0z0z2.可导与连续的关系若函数在点处可导，则在点处必连续.反之不一定.3.用定义求导的步骤1)求增量比;2)求增量比的极限.)(zfw0z)(zf0z例1求的导数.()fz2z二.解析函数的概念及求导法则1.解析函数的定义1)点处解析:如果f(z)不仅在点处可导,且在点的某邻域内的处处可导,则称f(z)在点处解析;2)解析点:称点是f(z)的解析点；3)解析函数:如果f(z)在D内每一点都解析,则称f(z)在D内解析或称f(z)为D内的解析函数.4)奇点:如果f(z)在点处不解析,则称为f(z)的奇点.0z0z0z0z0z0z4)注:1)凡说到函数解析总指函数在某个区域上处处有导数;2)可导与解析关系:函数在一点处解析,则一定在该点可导,反之不一定.例2讨论函数的解析性.解由例1知，在整个复平面内处处可导且，则由函数在某区域内解析的定义可知，函数在整个复平面上解析.2)(zzfzzf2)(2)(zzf2)(zzf例3讨论函数的解析性.2||)(zzf2.求导法则(同实变函数)1)四则运算法则:（以下出现的函数均假设可导）：（1）其中为复常数；（2）其中为正整数；（3）；(4)(5),0)(CC,1nnnzz）（n)()()()(zgzfzgzf)()()()()()(zgzfzgzfzgzf)0)(()]([)()()()()()(2zgzgzgzfzgzfzgzf；2)复合函数求导法则:3)反函数求导法则:是两个互为反函数的单值函数，且.)(),()(})]([{zwzwfzf其中1()()()()fzwfzzww，其中和0w（）.例4求下列函数的导数.（1）（2）解(1)（2）52)2()(izzf)0()1()(242zzzzf()fz4242)2(204)2(5izzziz23232(1)(31)zzz2332444(1)22(1)()zzzzfzz•例5设.•解因为•所以()fz)(,)42(22ifzz求()fz)22()42(22zzz]2)(2[]4)(2)[(2)(2iiiif)1)(23(4iii2043.解析函数的运算性质：（1）若函数f(z)和g(z)在区域D内解析，则、、在D内也解析；（2）若函数在区域内解析，而在区域内解析，且，则复合函数在内也解析，且.()fz()gz()()fzgz()(()0)()fzgzgz)(hfwG()hgz()gDG[()]wfgzD[()]()()dfgzdfhdgzdzdhdz.D三.函数解析的充要条件1.f(z)在点处可导的充要条件1)定理１函数在z=x+iy处可导的充要条件是（1）可微；（2）满足柯西—黎曼方程(简称C—R方程):证:(略)),(),()(yxivyxuzf,uvxyxvyu2)求导公式由证明过程知,当定理条件满足时,f(z)的导数为:3)注:C-R条件仅是可导的必要条件而非充分条件.yuiyvyuixuxviyvxvixuzf)('2.f(z)在D内解析的充要条件1)定理２函数在D内解析的充要条件为,u(x,y)和v(x,y)在D内处处可微,且满足C-R方程.2)推论设f(z)在D内有定义,若在D内u(x,)和v(x,y)的四个偏导数存在且连续,并且满足C-R方程,则在内解析.),(),()(yxivyxuzf,,,uuvvxyxy3)结论:(1)f(z)在D内不满足C-R方程,则f(z)不解析;(2)满足C-R方程且有一阶连续偏导,则f(z)解析;例2讨论函数的可导性，并求其导数.解由得则显然，在复平面内和的偏导数处处连续，2()fzz2()fzz222()2xiyxyixy22(,),(,)2uxyxyvxyxy2,2,2,2uuvvxyyxxyxy(,)uxy(,)vxy且即和处处满足C—R条件且处处可微，所以，在复平面内处处可导且2,2uvuvxyxyyx(,)uxy(,)vxy2()fzzzxvixuzf2)(.•例3讨论函数的可导性.•解因为•得•显然，、处处具有一阶连续偏导数，但仅当时，、满足C—R条件.因此，仅在点处可导.()Refzzz2()()fzxiyxxixy2(,),(,)uxyxvxyxy2,0,,uuvvxyxxyxy(,)uxy0,0xy(,)uxy(,)vxy)(zf0z(,)vxy•例4证明在复平面上不可微.•证由于，于是，•从而•显然，对复平面上任意一点，都不满足C—R条件，所以在整个复平面上不可微.()fzz()fzxiy(,),(,)uxyxvxyy1,1uvxy(,)xy)(zf()fzz•例5讨论下列函数的解析性.•（1）；•（2）；（3）.•解（1）设•因为•且这四个偏导数处处连续，故•在复平面上处处解析.)2()1(2)(22yyxiyxzfzzf)()Re()(zzzfyyxvyxu2),1(2222(1),uvyxyxvxyu2)2()1(2)(22yyxiyxzf•（2）因为，•设，而•所以在复平面上处处不解析．iyxzzf)(yvxu,1,ux1yvzzf)((3)因为设这四个偏导数虽然处处连续，但C—R条件仅在原点处成立，因而函数在复平面内的原点处可导，其它点不可导，可知该函数在复平面上处处不解析.ixyxxiyxzzzf2)()Re()()Re()(zzzfxyvxu,22,,uvxxxyyxvyu,0§2.3解析函数与调和函数的关系一.调和函数的概念1.定义:若二元函数在区域D内有二阶连续偏导数,且满足二维拉普拉斯方程则称为区域D内的调和函数.例:是调和函数2.解析函数实部,虚部特点:设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析,则f(z)的实部u(x,y)和虚部v(x,y)都是D内的调和函数.注:定理反之不成立.),(yx),(yx02222yxxyyxyxu22),(二.共轭调和函数1.定义:设函数及均为在区域D内的调和函数,且满足C-R方程则称是的共轭调和函数.2.注:1)是的共轭调和函数,反之不一定;2)只有当且仅当该二函数为常数时,才互为共轭.),(yx),(yxxyyx,),(yx),(yx),(yx),(yx1.函数在D内解析的充要条件(定理):f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是:在D内,f(z)的虚部v(x,y)是实部u(x,y)