第2章 序列的傅里叶变换和z变换

第2章序列的傅里叶变换与Z变换引言2.1序列的傅里叶变换2.2傅里叶变换的对称性质2.3序列Z的变换2.4Z反变换2.5Z变换的基本性质和定理2.6序列Z变换域连续信号的拉普拉斯变换及傅里叶的关系2.7离散系统的频域特性2020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院2信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频率分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续变量时间t的函数表示，系统则用微分方程描述。为了在频率域进行分析，用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换到频率域。而在时域离散信号和系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，而系统则用差分方程描述。2020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院3频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学工具。其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换，它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的，但都是线性变换，很多性质是类似的。本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础。2020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院42.1序列的傅里叶变换2.1.1序列傅里叶变换的定义定义()()jjnnXexne为序列x(n)的傅里叶变换，可以用FT(FourierTransform)缩写字母表示。FT成立的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：()nxn2-12-22020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院5为求FT的反变换，用ejωn乘(2-1)式两边，并在[-π，π]内对ω进行积分，得到()()()[()]()2()1()()2jjmjnjnnjmnnjmnjjmXeedxneedxnedednmxnXeed式中因此2-32-42020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院6上式即是FT的逆变换。(2-1)和(2-4)式组成一对傅里叶变换公式。(2-2)式是FT存在的充分必要条件，如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，例如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来，这部分内容在下面介绍。2020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院7例2-1设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT10/2/2/2/2/2/2(1)/2()()1()1()sin(/2)sin/2NjjnjnNnnjNjNjNjNjjNjjjNXeRneeeeeeeeeeNe解：设N=5，幅度与相位随ω变化曲线如图2-1所示。2-52020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院8图2-1R5(n)的幅度与相位曲线2020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院92.1.2序列傅里叶变换的基本性质1.傅里叶变换的周期性序列x(n)傅里叶变换定义(2-1)式中，n取整数，因此下式成立(2)()(),jjMnnXexneM为整数因此序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。这样X(ejω)可以展成傅里叶级数，其实(2-1)式已经是傅里叶级数的形式，x(n)是其系数。2-62020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院10图2-2cosωn的波形……－1012341－1……0123456nn(a)(b)1π2π)12(McosMncosn2020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院112.线性11221212()[()],()[()],[()()]()()jjjjXeFTxnXeFTxnFTaxnbxnaXebXe则设式中a,b为常数3.时移与频移设X(ejω)=FT[x(n)]，则0000([()]()[()]()jnjjnjFTxnneXeFTexnXe2-72-82-92020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院124.时域卷积定理设y(n)=x(n)*h(n),则Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)证明()()()()[()][()()]()()()()()()()mjjnmjjkjkjkmjkjkkmjjynxmhnmYeFTynxmhnmeYehkexmeehkexmeHeXe令k=n-m2-102020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院135.频域卷积定理设y(n)=x(n)·h(n)()11()()*()()()22()()()1()[()]2jjjjjjjnnjjnjnnYeXeHeXeHedYexnhnexnHeede2-11证明2020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院14()()1()()[()]21()21()*()2jjjnnjjjjYeHexnedHeXedHeHe6.帕斯维尔(Parseval)定理222**1()(21()()()()[())]2jnjjnnnnxnxedxnxnxnxnXeed2-122020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院15帕斯维尔定理告诉我们，信号时域的总能量等于频域的总能量。要说明一下，这里频域总能量是指|X(ejω)|2在一个周期中的积分再乘以1/(2π)。最后，表2-1综合了FT的性质，这些性质在分析问题和实际应用中是很重要的。2*1()()211()()()22jjnnjjjXexnedXeXedXed2020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院162.1.3周期序列的傅里叶变换1周期序列的离散傅里叶级数设是以N为周期的周期序列，由于是周期性的，可以展成傅里叶级数式中ak是傅里叶级数的系数。为求系数ak，将上式两边乘以，并对n在一个周期N中求和2jmnNe)(~nx2-132020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院17上式中，k和r均取整数，当k或者n变化时，是周期为N的周期函数，因此αk满足αk=αk+lN，也是周期序列。令=Nαk，将(2.15)式代入得可得-∞k∞kNnnmkNjkNnknNjkknNjkNnknNjeeeenx10)(21022102)(~利用,0,1110)(2NnnmkNjeNmkmk2-142-15knNje2)(~nx2020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院18也是一个以N为周期的周期序列，称为的离散傅里叶级数，用DFS(DiscreteFourierSeries)表示。为了方便，记2-16,)(~)(~102NnknNjenxkXk2-17)(~nXNjNeW2klNje2记为，(2-15)式两端乘以，并对k在一个周期中求和，得到klNW,0,1110)(NnnkmNWNklNW1010)(101010)(~)(~)(~NnNklnkNklNNkNnknNNkklNWnxWWnxWkX利用(2.14)式得到102)(~1)(~NkknNjekXNnx2020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院19(2-16)式和(2-17)式称为一对DFS。(2-19)式表明将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为ωk=(2π/N)k,k=0,1,2…N-1，幅度为。其波分量的频率是2π/N，幅度是。一个周期序列的频谱分布规律可以用其DFS表示它。2-182-19(2.16)式和(2.17)式称为DFS变换对。重写如下2020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院202周期序列的傅里叶变换表示式在模拟系统中，的傅里叶变换是在Ω=Ωo处的单位冲激函数，强度是2π，即0()jtaxte00()[()]2()jtjtaaXjFTxteedt对于时域离散系统中，暂时假定其FT的形式与(2-20)式一样，也是在ω=ω0处的单位冲激函数，强度为2π，即2-2000()[]2(2)jnjrXeFTer2-212020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院21X(ejω)是在ω=ω0+2πr(r取整数)处强度为2π的单位冲激函数，这是因为的周期性引起的。的频谱如图2-3所示。图2-3的傅里叶变换2020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院22(2.21)式的逆变换计算如下这是因为积分区间(-π，π)只包括一个单位冲激函数。以上利用冲激函数表示序列的傅里叶变换，对于一般的周期序列，可以用DFS表示为N次谐波叠加的形式，那么利用的傅里叶变换可以将按各次谐波表示如下njnjrnjjederdeeX0)2(221)(21010)22()(~2)](~[)(NkrjrkNNkXnxFTeX式中k=0，1，2，…，N-1，若让k在±∞之间变化，上式可简化为2020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院23其中(2.22)式就是利用冲激函数，以及周期序列的离散傅里叶级数表示周期序列的傅里叶变换的表达式。rjkNkXNeX)2()(~2)(2-22102)(~)(~NnknNjenxkX2020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院24例2-2设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期延拓得到的序列(如图2-4(a)所示)，求序列的FT。解：按照(2-18)有273~~840044442224888()()111()1()jknknnnjkjkjkjkjkjkjkjkjkjkXkXneeeeeeeeeeee2020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院25其幅度特性如图2-4(b)所示。38sin2sin8jkkek再利用(2-22)式得kkjjkkkeeX)4()8/sin()2/sin(4)(832020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院26图2-4序列x(n)的幅频特性2020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院27序列x(n)的幅频特性如图2-4(c)所示。注意序列x(n)幅度特性和幅频特性||的相似性，它们都可以表示周期序列的频谱分布，但周期序列的||使用冲激函数表示的。)(jeX)(jeX2020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院282.2傅里叶变换的对称性1.时域序列x(n)情况定义满足xe(n)=x*e(-n)则称xe(n)为共轭对称序列。对于实序列来说，这一条件变成xe(n)＝xe(-n)，即xe(n)为偶对称序列。对于一般的复序列可表示为xe(n)=xer(n)+jxei(n)即实部与虚部和的形式。上式中用-n代替n，并取共轭，得2-232-24)()()(*njxnxnxeiere2-252020/2/23西安建筑科技大学信息与控制学院29由(2.23)式知，(2.24)式和(2.25)式左右两边相等，因此得到xer(n)=xer(-n)xei(n)=-xei(-n)2-262-27即共轭对称序列的实部是偶函数，