23.幂的运算(基础)知识讲解

幂的运算（基础）【学习目标】1.掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；2.能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质mnmnaaa(其中,mn都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即mnpmnpaaaa（,,mnp都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即mnmnaaa（,mn都是正整数）.要点二、幂的乘方法则()mnmnaa(其中,mn都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())mnpmnpaa(0a，,,mnp均为正整数)（2）逆用公式：nmmnmnaaa，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则()nnnabab(其中n是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()nnnnabcabc(n为正整数).（2）逆用公式：nnnabab逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：10101011221.22要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：（1）234444；（2）3452622aaaaaa；（3）11211()()()()()nnmnmxyxyxyxyxy．【答案与解析】解：（1）原式234944．（2）原式34526177772222aaaaaaa．（3）原式11211222()()()()2()nnmnmnmnmnmxyxyxyxyxy．【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a的指数是1．在第（3）小题中把xy看成一个整体．举一反三：【变式】计算：（1）5323(3)(3)；（2）221()()pppxxx（p为正整数）；（3）232(2)(2)n（n为正整数）．【答案】解：（1）原式532532532103(3)333333．（2）原式22122151()pppppppxxxxx．（3）原式525216222(2)22nnn．2、已知2220x，求2x的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22222xx【答案与解析】解：由2220x得22220x．∴25x．【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：mnmnaaa．类型二、幂的乘方法则3、计算：（1）2()ma；（2）34[()]m；（3）32()ma．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a，（2）题中的底数是m，（3）题中的底数a的指数是3m，乘方以后的指数应是2(3)62mm．【答案与解析】解：（1）2()ma2ma．（2）34[()]m1212()mm．（3）32()ma2(3)62mmaa．【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、已知25mx，求6155mx的值．【答案与解析】解：∵25mx，∴62331115()55520555mmxx．【总结升华】（1）逆用幂的乘方法则：()()mnmnnmaaa．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．举一反三：【变式1】已知2ax，3bx．求32abx的值．【答案】解：32323232()()238972abababxxxxx．【变式2】已知84m，85n，求328mn的值．【答案】解：因为3338(8)464mm,2228(8)525nn.所以323288864251600mnmn.类型三、积的乘方法则5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()abab；（2）333(4)64abab；（3）326(3)9xx．【答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：222()abab．（2）对．（3）错，系数应为9，应为：326(3)9xx．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．