第4章-二次型-练习题

第4章二次型练习题1、设3元二次型323121232221321222),,(xxxxxxtxxxxxxf的秩为2，求t的值。（t=1）2、已知3元二次型323121232221321244),,(xxbxxxxxxxxxxf，求此二次型的秩.（当b1且b7时，r=3；当b=1或b=7时，r=2）3、求二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2x3)2+(x3+x1)2的秩。（2）4、已知3元二次型f(x1,x2,x3)=x12+bx22+x32+2x1x22bx1x32x2x3，求此二次型的矩阵A的特征值，并确定参数b，使此二次型的正、负惯性指数均为1.（b=2）5、判断二次型321321321122820021xxxxxxxxxf,,),,(的正定性。（不正定）6、设矩阵yxA10012000020021，问：当x、y为何值时，矩阵A是正定的？（x4，y1/2）7、当a为何值时，二次型f(x1,x2,x3)=3x12+4x22+3x32+ax1x24x2x3是正定二次型。（2424a）8、确定的值，使二次型f(x1,x2,x3,x4)=x12+x22+x32+2x1x22x2x3+2x1x3+x42为正定二次型。（2）9、求t值，使二次型f(x1,x2,x3)=x12+4x22+x32+2tx1x2+10x1x3+6x2x3为正定二次型。（无论t取何值，该二次型都不是正定的）10、用正交变换将二次型f(x1,x2,x3,x4)=2x1x2+2x3x4化为标准形，写出所作的正交变换，并根据标准形判别二次型f是否为正定二次型（说明理由）。（标准形f=y12y22+y32+y42，正交线性变换4244233123112121212121212121yyxyyxyyxyyx；不是正定二次型）11、设实二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x2x3+2x1x3经正交替换X=QY化为f=y22+2y32，其中X=(x1,x2,x3)T，Y=(y1,y2,y3)T是三维列向量，Q是三阶正交矩阵。（1）求参数、之值；（2）给出所作的正交替换的矩阵；（3）求此二次型的规范形。（==0；2/102/10102/102/1Q；经可逆线性替换3112231121212121zzxzxzzx，将原二次型化为规范形f=z12+z22。）12、已知3元二次型323121232221321222)(),,(xxxxxxxxxaxxxf（a0）经过正交线性替换x=Qy化为标准形21byf.（1）试求参数a、b，以及所作的正交线性替换；（2）求方程f(x1,x2,x3)=0的解.（a=1，b=3；311321232116231612131612131yyxyyyxyyyx；=k1(1,1,0)T+k2(1,0,1)T，k1,k2为任意常数）13、设3元二次型f(x1,x2,x3)=2x12+x22+5x322x1x22x1x3+4x2x3，（1）用矩阵的合同变换法（初等变换法）化二次型为标准形；（2）求二次型的规范形；（3）写出所作的可逆线性替换矩阵C，并求出二次型的秩、正惯性指数与符号差，并判断其是否为正定二次型。（标准形2221212yyf；规范形f=z12+z22；10032012/12/1C，r=2，p=2，2pr=2，不是正定二次型。）14、设3元二次型f(x1,x2,x3)=x1x2+x2x3x3x1，（1）用初等变换法将二次型f(x1,x2,x3)在实数域R内化为规范形，并写出可逆线性替换的矩阵C；（2）求二次型f(x1,x2,x3)正惯性指数和秩，并判断其是否为正定二次型。（规范形f=y12+y22y32，可逆线性替换的矩阵010111111C；r=3，p=23=n，不是正定二次型）15、已知三元二次型f(x1,x2,x3)=2x1x22x1x3+2x2x3，求：（1）用合同变换法求其标准形及可逆线性替换矩阵C；（2）写出二次型的规范性；（3）写出二次型的负惯性指数及符号差。（（1）标准形2322213212212),,(yyyxxxf，可逆线性替换矩阵10012/1112/11C；（2）规范形f=z12+z22z32；（3）负惯性指数为1，符号差也为1）16、已知3元二次型22313212),,(xxxxxxf，（1）用初等变换法求此二次型的标准形，及所作的可逆线性替换；（2）确定此二次型的正惯性指数和符号差，并判断此二次型是否为正定二次型（说明理由）.（标准形232221212yyyf，313223112121yyxyxyyx；p=1，2pr=1不是正定二次型）17、将二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2x3)2+(x3+x1)2化为标准形。（标准形2221212yyf，33322321121yxyyxyyyx，不唯一）18、已知实矩阵211121112A与0000303aaB合同但不相似，试求参数a.（3a0或0a3）19、证明题（1）设A为mn实矩阵，证明①ATA为正定矩阵的充分必要条件是齐次线性方程组AX=0仅有零解；②ATA为正定矩阵的充分必要条件是A为列满秩；③AAT为正定矩阵的充分必要条件是A为行满秩。（2）设A为n阶正定矩阵，A*为A的伴随矩阵，求证：A1与A*都是正定矩阵。（3）试证：对实数域上的任一n阶可逆矩阵A，都有ATA是正定矩阵。（4）设A为n阶实对称矩阵，r(A)=n，证明：A2是正定矩阵。（5）已知矩阵11~BA，22~BA，对于分块矩阵21AOOAA，21BOOBB，求证：BA~。（6）设A是一个n阶实对称矩阵，E是n阶单位矩阵，t是实数，求证：t充分大之后，矩阵tE+A是正定矩阵。（7）设A为mn实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=E+ATA，试证：当0时，矩阵B为正定矩阵。（8）设A，B均为n阶实矩阵，且r(A+B)=n，试用定义证明：矩阵ATA+BTB是正定矩阵.（9）设3001021001101001A，证明：（1）A与单位矩阵合同；（2）A不与单位矩阵相似。（10）设A与B是两个n阶正定矩阵，证明：A与B合同。（11）设A与B分别为m阶与n阶正定矩阵，判断分块矩阵BOOAC是否为正定矩阵，并证明你的结论。（是）（12）已知A是n阶正定矩阵，试证明：A+E1。（13）设n阶矩阵H是正定矩阵，Rn中的非零向量组1，2，…，n满足0jTiH（ij；i，j=1，2，…，n），试判断向量组1，2，…，n的线性相关性.（线性无关）（14）设A为实对称矩阵，B为正定矩阵，证明：矩阵AB可以对角化.