二次型练习题

1二次型习题一、填空题1.实二次型222123123121323(,,)33222fxxxxxxxxxxxx的矩阵为．2.二次型2111,,nniijiijnfxxxxx的矩阵为.3.二次型22212312323(,,)22fxxxxxxxx是正定的充分必要条件是与满足。4.A20001011kk是正定阵，则k满足条件__________________。5.实对称n阶半正定矩阵A的秩为nr，则二次型AXXT的规范形为。6.实二次型112323132(),,541433xfXxxxxx的矩阵为。7.n阶实对称矩阵A正定，则二次型AXXT的规范形为。8.二次型nnnnnxxxxxxxxxxxxxxxf12321312121222222),(的矩阵为。二、选择题1.设A是实对称矩阵，二次型AXXXf正定的充要条件是（）。（A）0A；（B）负惯性指数为0；（C）A的所有主对角线上的元素大于0；（D）存在可逆矩阵C，使CCA2.设A是任意实矩阵，那么二次型AXAXxf必是（）．A、半正定；B、半负定；C、正定；D、负定；3.实方阵A为正定阵,则下列结论正确的是()。A.0||AB.0||AC.0||AD.不确定24.已知二次型AXXxxxfT),,(321通过正交线性替换化为标准形22212yy,则矩阵A（）。A.正定B.半正定C.负定D.不定5.二次型1(,,)nfxx的系数矩阵是（）时必是正定的。A.实对称且主对角线上元素为正B.实对称且顺序主子式值都为正数C.实对称且所有元素为正D.实对称且行列式值为正数6.已知二次型),,(321xxxf通过非退化线性替换化为标准形22213yy,则二次型),,(321xxxf（）。A.正定B.半正定C.负定D.不定三、计算题1.设二次型222123123121323(,,)44224fxxxxxxxxxxxx问取何值时，f为正定二次型？2.化二次型222123112132323(,,)2443fxxxxxxxxxxxx为标准形，写出所作的非退化的线性替换．并回答下列问题：（1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？（2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是什么？3.化二次型1231223()fxxxxxxx为标准形，写出所作的非退化的线性替换．并回答下列问题：（1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？（2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是什么？4.化二次型fxxxxxxxxx(,,)12312231323为标准形，写出所作的非退化的线性替换．并回答下列问题：（1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？（2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是什么？5.化二次型323121321224),,(xxxxxxxxxf为标准形，写出所作的非退化的线性替换．并回答下列问题：（1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？（2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是什么？36.用合同变换法化二次型32212221321222),,(xxxxxxxxxf为标准形；写出所作的非退化线性替换；并分别写出其实数域和复数域上的规范形。7.试讨论a取什么值时，n元二次型2211()nniiiiaxx是正定的？