大学高等代数二次型试题

1第五章二次型§1二次型及其矩阵表示一、二次型及其矩阵表示设P是一个数域,一个系数在P中的nxx,,1的二次齐次多项式2221211112121122222(,,,)222nnnnnnnnfxxxaxaxxaxxaxaxxax(1)称为数域P上的一个n元二次型,简称二次型.令,ijjiaaij由于ijjixxxx,所以二次型(1)可写成22121111212112121222222112211(,,,)nnnnnnnnnnnnnnijijijfxxxaxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxx其系数排成一个nn矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa(2)它称为二次型的矩阵.因为,,1,2,,ijjiaaijn,所以AA,这样的矩阵是对称矩阵,因此,二次型的矩阵都是对称的.令11121111112212122222112222121211121122,,,,,,nnnnnnnnnnijijijnnnnnnnnnnaaaxaxaxaxaaaxaxaxaxXAXxxxxxxaxxaaaxaxaxax或AXXxxxfn),,,(21.(3)2例1写出21231121323(,,)5226fxxxxxxxxxx的矩阵及矩阵形式.注意二次型(1)的矩阵A的元素,当ji时jiijaa正是它的jixx项的系数的一半,而iia是2ix项的系数,因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此可得,若二次型12(,,,)nfxxxXAXXBX,且BBAA,,则BA.定义1设nnyyxx,,;,,11是两组文字,系数在P中关系式nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,,(4)称为由nxx,,1到nyy,,1的一个线性替换,或简称线性替换.如果系数行列式0ijc,那么线性替换(4)就称为非退化的.线性替换把二次型变成二次型.令nnnnnnnyyyYcccccccccC21212222111211,,于是线性替换(2)可以写成nnnnnnnnyyycccccccccxxx2121222211121121或者CYX.经过一个非退化的线性替换,二次型变成二次型,替换后的二次型与原二次型之间有什么关系?下面就来讨论.3二、矩阵的合同关系设AAAXXxxxfn,),,,(21是一个二次型,作非退化线性替换CYX得到一个nyyy,,,21的二次型BYY,因12(,,,)()()().nfxxxXAXCYACYYCACYYCACYYBY容易看出矩阵ACC也是对称的,由此即得ACCB.这是前后两个二次型的矩阵间的关系。定义2数域P上两个n阶矩阵A,B称为合同的,如果有数域P上可逆的nn矩阵C,使得ACCB.因此,经过非退化的线性替换,新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.合同是矩阵之间的一个关系,具有以下性质:1)自反性:任意矩阵A都与自身合同.2)对称性:如果B与A合同,那么A与B合同.3)传递性:如果B与A合同,C与B合同,那么C与A合同.特别指出,在变换二次型时,总是要求所作的线性替换是非退化的.从几何上看,这一点是自然的,因为坐标变换一定是非退化的(为什么？).一般地,当线性替换Y=CX是非退化时,可得XCY1,它也是一个非退化线性替换,它把所得的二次型还原.这样就可从所得二次型的性质推知原二次型的一些性质.作业:P232:1写出二次型(1)-(4)的矩阵.4§2标准形一、二次型的标准型及配方法二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型2222211nnxdxdxd.（1）定理1数域P上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和(1)的形式.证明对n进行归纳证明.n=1时,21111()fxax是(1)的形式,假定n-1元的二次型定理成立.对n的情形,设1211(,,,)nnnijijijfxxxaxx,分三种情形讨论.(1)(1,2.,)iiain中至少一个不为零.不妨110a,这时21211111222(,,,)2nnnnjjijijjijfxxxaxaxxaxx=2111112222nnnjjijijjijaxxaxaxx=12121111111112222()()nnnnjjjjijijjjijaxaaxaaxaxx=12111111222()nnnjjijijjijaxaaxbxx，其中1211122222()nnnnnijijjjijijijjijbxxaaxaxx是2,,nxx的二次型.令111111222,,.njjjnnyxaaxyxyx,即.,,222111111nnnjjjyxyxyaayx,这是一个非退化的线性替换,它使512(,,,)nfxxx211122nnijijijaybyy.由归纳假设,有非退化的线性替换22222332332233332233nnnnnnnnnnzcycycyzcycycyzcycycy使222223322nnijijnnijbyydzdzdz,于是非退化的线性替换11222223322233,nnnnnnnnzyzcycycyzcycycy使12(,,,)nfxxx=211122nnijijijaybyy=22221112233nnazdzdzdz.这时定理成立.(2)0,(1,2.,)iiain,且至少有一个10,(2)jaj,不妨设120a.令11221233,,,,nnxzzxzzxzxz,它是一个非退化的线性替换,在它之下22121212121212121122(,,,)22()()22nfxxxaxxazzzzazaz，上式是关于1,,nzz的二次型,属于(1)的情形,此时定理成立.(3)10,(1,2.,),0(2)iijainaj,此时1222(,,,)nnnijijijfxxxaxx是n-1元的二次型,由归纳假设定理成立.二次型),,,(21nxxxf经非退化线性替换所变成的平方和称为),,,(21nxxxf的标准形.6例2化二次型323121321622),,(xxxxxxxxxf成标准形.二、化对称矩阵为对角矩阵由11222221122120000,,,00nnnnndxdxdxdxdxxxxdx知,二次型(1)的矩阵是对角矩阵.反过来,矩阵为对角形的二次型也是(1)的形式.按上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此用矩阵的语言,定理1可以叙述为：定理2在数域P上,任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.即对于任意一个对称矩阵A都可以找到一个可逆矩阵C使ACC成对对角形矩阵.1.,011a这时的变量替换为.,,222111111nnnjjjyxyxyaayx令10001011111121111naaaaC,则上述变量替换相应于合同变换11ACCA,为计算11ACC,可令nnnnnaaaaAaa22221112,,,.于是A和1C可写成分块矩阵111111111,nEOaCAaA,这里为的转置,1nE为n-1级单位矩阵.这样711111111111111111111111111111111.nnnOaaaOaaCACaEAOAaOAaOEOE矩阵1111aA是一个)1()1(nn对称矩阵,由归纳法假定,有)1()1(nn可逆矩阵G使DGaAG)(1111为对角形,令GOOC12,于是DOOaGOOaAOOaGOOCACCC11111111211211,这是一个对角矩阵,我们所要的可逆矩阵就是212CCCC.2.011a但只有一个0iia.这时,只要把A的第一行与第i行互换，再把第一列与第i列互换，就归结成上面的情形,根据初等矩阵与初等变换的关系,取1000100010000001000(1,)100000000010000001CPiii行列显然),1(),1(iPiP.矩阵),1(),1(11iAPiPACC就是把A的第一行与第i行互换,再把第一列与第i列互换.因此,11ACC左上角第一个元素就是iia,这样就归结到第一种情形.3.,,,2,1,0niaii但有一.1,01jaj与上一情形类似,作合同变换),2(),2(jAPjP可以把ja1搬到第一行8第二列的位置，这样就变成了配方法中的第二种情形.与那里的变量替换相对应，取10000100001100111C,于是11ACC的左上角就是12122002aa,也就归结到第一种情形.4..,,2,1,01njaj由对称性,.,,2,1,1njaj也全为零.于是10AOOA,1A是1n级对称矩阵.由归纳法假定,有)1()1(nn可逆矩阵G使DGAG1成对角形.取GOOC1,ACC就成对角形.作业:P232:1(I)(1)-(3).§3唯一性经过非退化线性替换,二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4,合同的矩阵有相同的秩,这就是说,经过非退化线性替换后,二次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对角矩阵,而对角矩阵的秩就等于它对角线上不为零的平方项的个数.因之,在一个二次型的标准形中,系数不为零的平方项的个数是唯一确定的,与所作的非退化线性替换无关.二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩.1.复二次型的唯一性.设),,,(21nxxxf是一个复系数的二次型，由本章定理1，经过一适当的非退化线性替换后,),,,(21nxxxf变成标准形,不妨假定化的标准形9是ridydydydirr,,2,1,0,2222211.(1)易知r是),,,(21nxxxf的矩阵的秩.因复数总可以开平方,再作一非退化线性替换11111.11,,,rrrrrnnyzyzddyzyz(2)(1)就变成22221rzzz(3)(3)称为复二次型),,,(21nxxxf的规范形.显然,规范形完全被原二次型矩阵的秩所决定，因此有定理3任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形,且规范形是唯一的.定理3换个说法就是,任一复数对称矩阵都合同于一个形式为