积分不等式的证明及应用论文

广西科技大学09级毕业论文第1页共21页广西科技大学毕业论文题目：积分不等式的证明及应用英文题目：Theintegralinequalityproofandapplication.所在学院：理学院所在专业：信息与计算科学学号：200900901071作者姓名：朱伟指导老师：张明俊二零一三年五月广西科技大学09级毕业论文第2页共21页摘要积分不等式是学习高等数学中的一个重要内容，在数学分析中的应用也很广泛,也经常会在考研试卷中出现.有很多积分不等式的证明方法，一些方法综合性和技巧性也很强。利用导数和积分的相关知识去证明不等式，可以降低技巧性，使证明的思路变得简单，在此总结出可用于证明不等式的知识点。文中涉及到的知识有积分不等式、柯西不等式、拉格朗日中值定理、泰勒公式等高等数学中的内容。【关键词】积分不等式、函数、拉格朗日中值定理、柯西不等式、泰勒公式广西科技大学09级毕业论文第3页共21页AbstractMathematicalanalysisisanimportantinformationandcalculationsciencespecializedbasiccourse,integralinequalityisimportantcontentofmathematicalanalysis,usingtheintegralinequalitycansolvemanyproblems,thustheapplicationofintegralinequalityisverywide.Proofofintegralinequalityandapplicationshasalwaysbeenadifficultyinmathematicalanalysis,it'sprovedthaterectedabridgefordifferentbranchesofmathematics,greatlyimprovedourcreativethinking.It'sproofandapplicationisalsoverycleverly,cansolvesomedifficultproblems.So,adeepunderstanding,tograspthemethodofintegralinequalityproof,anditsdifferentapplicationsinmathematicalanalysis,canimproveourunderstandingoftheoreticalknowledgeandapplication,atthesametimealsoisgoodforourfuturestudy,toimproveourthinkingability,innovationability,andskillalsohastheverybighelp.【Keywords】Integralinequality,Probabilitymassfunction,Lagrange'smeanvaluetheorem,Cauchyinequality,Taylorsformula.广西科技大学09级毕业论文第4页共21页目录摘要..............................................................2引言..............................................................5第一章积分不等式的证明方法........................................6（一）定义法..................................................6（二）利用定积分的基本性质....................................7（三）利用积分第一中值定理证明积分不等式......................8（四）利用拉格朗日中值定理来证明积分不等式....................9（五）利用二重积分法证明积分不等式...........................10（六）利用线性变换证明积分不等式.............................12（七）利用柯西中值定理来证明积分不等式.......................13（八）利用泰勒公式证明积分不等式.............................13定理4泰勒定理............................................132.证明方法..................................................143.例子......................................................144.应用范围..................................................14第二章一些特殊积分不等式的应用....................................15（一）Young不等式及其应用.....................................15（二）Steffensen不等式..........................................17（三）Jensen不等式............................................17结束语.............................................................19致谢.............................................................20参考文献...........................................................21广西科技大学09级毕业论文第5页共21页引言数学分析是信息与计算科学专业的一门重要的基础课，积分不等式是数学分析中的重要内容，利用积分不等式可以解决很多问题，由此可见积分不等式的应用很广。积分不等式的证明与应用历来是数学分析的中的一个难点，它的证明为不同分支的数学架起了桥梁，很大程度的提高了我们的创造思维。它的证明及应用也是很灵活巧妙的，可以使一些困难的问题迎刃而解。所以，深刻理解、掌握积分不等式的证明方法及它在数学分析中不同方面的应用，可以提升我们对理论知识的理解、应用，同时也有利于我们以后的学习，对提高我们的思维能力、创新能力、和技巧也有非常大的帮助。本文通过参考大量的文献，综述出了一些积分不等式的证明及应用。广西科技大学09级毕业论文第6页共21页第一章积分不等式的证明方法（一）定义法根据定积分的定义，我们把积分区间分为n等分，得出积分和后，再由离散型式子，得到积分和之间的大小关系，令n，取极限即可.例1设f在,ab上连续，()0bapxdx，()0px，且()mfxM，()hx在区间,mM上有定义，有二阶导数''()0hx，试证明：()()()(())()()()bbaabbaapxfxdxpxhfxdxhpxdxpxdx.证明：（利用积分和证明）将,abn等分，记()iixaban，()iippx，()iiffx，1,2,3i因为''()0hx，则()hx为凸函数，则1111()()nniiiiiinniiiipfphfhpp，所以有：1111()()nniiiiiinniiiibabapfphfnnhbabappnn令n取极限，便得证明的积分不等式.例2设函数)(xf在0,1上可积，试证明不等式11200()()fxdxfxdx.证明：先用Jensen不等式法来证明不等式:对Rxxxn,,,21,有广西科技大学09级毕业论文第7页共21页nxxxnxxxnn2222121设T为]1,0[的n等分，根据上面的不等式,有nininnifnnif12111.令n,由函数)(xf和)(2xf在[0,1]上的可积性及函数||x和x的连续性，可得积分不等式11200()()fxdxfxdx.（二）利用定积分的基本性质例1假设)(xf在,ab上二次连续且可微，()02abf，''sup()axbMfx，试证明：3()()24baMbafxdx证明：将)(xf在2abx处，用泰勒公式展开，注意()02abf，则'''21()()()()()222!2abababfxfxfx，)(xf右端的第一项在,ab上积分为0，所以''21()()()2!2bbaaabfxdxfxdx''21()()22baabfxdx31()|62baabMx3()24Mba，其中''sup()axbMfx.例2设函数()fx在区间0,1上连续且递增，试证明：对任意0,1k，都有100()()kfxdxkfxdx.证法一：110000()()()()()kkkkkfxdxfxdxkfxdxfxdxfxdx10(1)()()kkkfxdxkfxdx广西科技大学09级毕业论文第8页共21页12(1)()()kkff012(1)k其中0,移项后得证.证法二：100()()kfxdxkfxdx100()()()kkkfxdxkfxdxkfxdx10(1)()()kkkfxdxkfxdx或1011()()1kkfxdxfxdxkk但是f在0,1上连续并且递增，所以1011()()()1kkfxdxfkfxdxkk，即1011()()1kkfxdxfxdxkk，原题得证.（三）利用积分第一中值定理证明积分不等式定理1积分第一中值定理如果xf在区间ba,连续,则至少存在一点ba,,使得等式abfdxxfba成立.巧妙的利用积分第一中值定理，在证明积分不等式中有着非常重要的作用.例设xf在区间1,0上可微,而且对任意函数1,0x,都有Mxf||,求证:对任何正整数n都有nMnifndxxfni1101,已知M是一个常数，与x无关.分析因为目标式中一个式子为ninifn11,而另一个式子为dxxf10,所以把dxxf10按照区间可加性可以写成一些定积分的和,应用积分第一中值定理加以证明.证明：由定积分的性质和积分中值定理,得1011nininidxxfdxxfniinf11,ninii,1,.,,2,1ni又因为xf在区间1,0上可微,所以根据微分中值定理可知,存在niii,,使广西科技大学09级毕业论文第9页共21页iiiniffnif,.,,2,1ni因此niniininifnfnnifndxxf11101111nMnMnnifnfnifnfnifnniiniiniinii111111111.由此可知，抽象函数xf的积分不等式中,如果有和号、对函数、幂函数等,一般可利用定积分的区间可加性或定义,把ba,n等分,点i也可以采用特殊的取法.（四）利用拉格朗日中值定