积分不等式的证明方法及其应用

1积分不等式的证明方法及其应用【摘要】本文根据定积分的定义、性质、定理等方面简单介绍了几个证明积分不等式的基本方法，并给出了相应的例题，从而更好地掌握其积分不等式的证明方法。尔后再给出四个重要积分不等式及其证明方法和应用，最后详细举例说明积分不等式在求极限、估计积分、证明积分不等式等上的应用及两个重要积分不等式的应用。【关键词】积分不等式Schwarz不等式Ho..lder不等式Gronwall不等式Young不等式1引言在学习中，我们常会遇到这样的问题：有些函数可积，但原函数不能用初等函数的有限形式来表达，或者说这种积分“积不出”，无法应用Newton-Leibniz公式求出（如210xedx），这时我们只能用其它方法对积分值进行估计，或近似计算；另一种情况是，被积函数是没有明确给出，只知道它的结构或某些性质（例如设函数f在0,1上连续可微，且(1)(0)1ff，求1'20()fxdx），因此我们希望对积分值给出某种估计.为此我们来研究下积分不等式.我们把含有定积分的不等式称为积分不等式.2121lnlnxdxxxdxx，22()cos()sin1bbaafxkxdxfxkxdx都是积分不等式.2积分不等式的证明方法2.1定义法我们根据定积分的定义，把积分区间n等分，得出积分和，再由离散型式子，得出积分和之间的大小关系，再令n，取极限即可.例1设函数)(xf在区间0,1上可积.试证明有不等式11200()()fxdxfxdx.证先用Jensen不等式法证明不等式:对Rxxxn,,,21,有不等式2nxxxnxxxnn2222121.设T为区间]1,0[的n等分.由上述不等式,有nininnifnnif12111.令n,注意到函数)(xf和)(2xf在区间[0,1]上的可积性以及函数||x和x的连续性，就有积分不等式11200()()fxdxfxdx.例2设f在区间,ab上连续，()0px，()0bapxdx，且()mfxM，()hx在,mM上有定义，并有二阶导数''()0hx，试证明：()()()(())()()()bbaabbaapxfxdxpxhfxdxhpxdxpxdx.证（利用积分和）将,abn等分，记()iixaban，()iippx，()iiffx，1,2,3i因为''()0hx，所以()hx为凸函数，所以1111()()nniiiiiinniiiipfphfhpp则有1111()()nniiiiiinniiiibabapfphfnnhbabappnn令n取极限，便得欲证明的积分不等式.2.2利用定积分的基本性质例3设)(xf在,ab上二次连续可微，()02abf，试证：3()()24baMbafxdx，其中''sup()axbMfx.证将)(xf在2abx处用泰勒公式展开，注意到()02abf，则'''21()()()()()222!2abababfxfxfx，)(xf的右端第一项在,ab上的3积分为0，故''21()()()2!2bbaaabfxdxfxdx''21()()22baabfxdx31()|62baabMx3()24Mba，其中''sup()axbMfx.例4设函数()fx在0,1连续且递增，证明：对任意0,1k，有100()()kfxdxkfxdx.证1110000()()()()()kkkkkfxdxfxdxkfxdxfxdxfxdx10(1)()()kkkfxdxkfxdx12(1)()()kkff012(1)k其中0,移项即得.证2100()()kfxdxkfxdx100()()()kkkfxdxkfxdxkfxdx10(1)()()kkkfxdxkfxdx或1011()()1kkfxdxfxdxkk但f在闭区间0,1上连续且递增，故1011()()()1kkfxdxfkfxdxkk，即1011()()1kkfxdxfxdxkk成立，原题获证.2.3利用重积分证明积分不等式把积分不等式中的定积分变换成重积分，再利用重积分的性质证明积分不等式.例5已知()0fx，在,ab上连续，()1bafydy，k为任意实数，求证：22()cos()sin1bbaafxkxdxfxkxdx（*）证（*）式左端()cos()cos()sin()sinbbbbaaaafxkxdxfykydyfxkxdxfykydy()()()bbaadxfxfycoskxydy()()1bbaadxfxfydy原式获证.2.4利用缩放积分区间来证明积分不等式的方法例6设函数()fx在0,1上有连续二阶导数，(0)(1)0ff，()0fx4（0,1x），试证：''10()4()fxdxfx.证因()0fx（0,1x），故()fx在0,1内恒正或恒负（否则由介值性知必有零点在0,1内，与()0fx矛盾），不妨设()0fx（0的情况类似可证），0,1x,因()fx在0,1上连续，故存在0,1c，使得01()max()xfcfx，于是对任意01ab有''''1100()()()()fxfxdxdxfxfc1''''011()()()()bafxdxfxdxfcfc''1()()bafxdxfc''1()()()fbfafc下面我们来恰当地选取,ab，得到所需的估计.注意到(0)(1)0ff，应用Lagrange公式得，'()(0)()0,,()0fcffccfcc；'(1)()(),1,()11ffcfccfcc.令,ab，则''1''0()1()()()()fxdxfbfafxfc1()()1()1(1)fcfcfccccc因为211(1)24cccc，所以''10()14()(1)fxdxfxcc，获证.2.5构造变限积分的方法对于一个积分不等式，可把常数a变为变量构造辅助函数()yFx，再利用函数()yFx的性质来证明积分不等式.例7设()fx在0,1上可微，且当0,1x时，'0()1fx，(0)0f，试证明：112300(())()fxdxfxdx.证1问题在于证明112300(())()0fxdxfxdx故令2300()(())()xxFxftdtftdt，因(0)0F，故只要证明在(0,1)内有'()0Fx.5事实上，'30()2()()()xFxfxftdtfx20()2()()xfxftdtfx令20()2()()xgxftdtfx，故只要证明在(0,1)内有()0gx，因(0)0g，故只要证明在(0,1)内有'()0gx.事实上，'''()2()2()()2()(1())gxfxfxfxfxfx，已知(0)0f，'0()1fx（0,1x），故(0,1)x时，()0fx，所以'()0gx，故'()0Fx.证2已知(0)0f，'0()1fx（0,1x），故(0,1)x时，()0fx所以问题在于证明120130(())1()fxdxfxdx（*）令20()(())xFxfsds，30()()xGxfsds则（*）式左端（利用Cauchy中值定理）有120130(())(1)(0)(1)(0)()fxdxFFGGfxdx''()()FG032()()()fftdtf022()()ftdtf000222()2()()(0)ftdtftdtff''2()11(01)2()()()ffff2.6其它方法证明积分不等式的方法很多，像判别式法，面积法，概率论法等，在此我就不一一介绍了.3几个重要积分不等式及其应用本节我们将会介绍几个著名的不等式.这些不等式不仅本身是重要的，而且证明这些不等式的方法，也十分典型.因此本节将系统地介绍这些不等式，并着重讨6论它们的证明与应用.3.1Schwarz不等式及其应用3.1.1Cauchy不等式[9]对任意n个数0,1,2,3,iain恒有222111()()()nnniiiiiiiabab，其中等号当且仅当iiab与成比例时成立.我们将这种离散的和的不等式推广到积分不等式，就得到Schwarz不等式.3.1.2定理1(Schwarz不等式)[9]dxxgdxxfdxxgxfbababa)()())()((222,)(),(xgxf在区间],[ba上可积，其中等号当且仅当存在常数,ab，使得()()afxbgx时成立（,ab不同时为0）.证1将],[ban等分，令()iixaban，应用Cauchy不等式得222111(()())()()nnniiiiiiifxgxfxgx，则有222111111(()())()()nnniiiiiiibababafxgxfxgxnnnnnn，令n得dxxgdxxfdxxgxfbababa)()())()((222.证2利用定积分的性质易知0])()([2dxxtgxfba，即0)()()(2)(222bababadxxfdxxgxftdxxgt(1)当2()0bagxdx时，因为()gx在区间],[ba上可积，所以2()gx在区间],[ba上也可积且非负，故有2()0,gxae于E，所以()0,gxae于E，继而有()()0,fxgxae于E，所以有()()0bafxgxdx，命题得证，其中,Eab.(2)当2()0bagxdx时，上面方程是关于t的二次多项式不等式，因此，判别式：0)()(4))()((4222bababadxxgdxxfdxxgxf，即：dxxgdxxfdxxgxfbababa)()())()((222,命题得证.7证3利用二重积分来证明Schwarz不等式.222()()(()())bbbaaafxdxgxdxfxgxdx222211()()()()()()()()22bbbbbbaaaaaafxdxgxdxfydygydyfxgxdxfygydy22221[()()()()2()()()()]2bbaadyfxgyfygxfxgxfygydx21[()()()()]2bbaadyfxgyfygxdx0即有dxxgdxxfdxxgxfbababa)()())()((222，由此看出若)(),(xgxf在区间],[ba上连续，其中等号当且仅当存在常数,ab，使得()()afxbgx时成立（,ab不同时为0）.3.1.2Schwarz不等式的应用应用Schwarz不等式，可证明另外一些不等式，使用时要注意恰当选取函数,fg.例1已知()0fx，在,ab上连续，()1bafydy，k为任意实数，求证：22()cos()sin1bbaafxkxdxfxkxdx（*）证（*）式左端第一项应用Schwarz不等式，得22()cos()(()cos)bbaafxkxdxfxfxkxdx2()cos()bbaafxkxdxfxdx2()cosbafxkxdx同理22()sin()s