微积分不定积分教案

1第五章不定积分2例，xxcos)(sinxsin是xcos的原函数.，？23)(x第一节不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念如果在某区间I内)()(xfxF,则称I内F(x)为f(x)的一个原函数.定义不定积分又称反导数,它是求导运算的逆运算.，233)(xx，233)1(xx，233)(xCx.本章所讲的内容就是导数的逆运算。3原函数存在定理：如果函数)(xf在区间I内连续，简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否存在？那么在区间I内存在可导函数)(xF，使Ix，都有)()(xfxF.(2)是否唯一？因此初等函数在其定义域内都有原函数。(但原函数不一定是初等函数)4唯一性？)()(])()([xGxFxGxF0)()(xfxf（1）若)(xF是)(xf的一个原函数,则对任何常数C,CxF)(也是)(xf的一个原函数；（2）设)(xF是)(xf的一个原函数,则)(xf的任一个原函数)(xG与)(xF最多相差一个常数,即CxFxG)()(.综合(2)(3),如果)(xf有一个原函数)(xF,则CxF)(是)(xf的所有原函数的一般表达式.CxGxF)()(故5任意常数积分号被积函数CxFxxf)(d)(被积表达式积分变量若)(xF是)(xf的一个原函数,则称CxF)(为)(xf的不定积分,记为.)()d(CxFxxf定义6例1求.d5xx解,)6(56xx.6d65Cxxx解例2求.d112xx,11arctan2xx.arctand112Cxxx7由不定积分的定义，可知),(]d)([ddxfxxfx,d)(]d)([dxxfxxf,)(d)(CxFxxF.)()(dCxFxF结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.或或8实例xx11.11Cxdxx启示能否根据求导公式得出积分公式？)1(二、基本积分表9基本积分表Ckxxkd)1((k是常数););1(1d)2(1Cxxx;lnd)3(Cxxx说明：,0x,lndCxxx])[ln(,0xx,1)(1xxx,)ln(dCxxx.||lndCxxx10基本积分表Ckxxkd)1((k是常数););1(1d)2(1Cxxx;lnd)3(Cxxxxxd11)4(2;arctanCxxxd11)5(2;arcsinCxxxdcos)6(;sinCxxxdsin)7(;cosCx11xxxdtansec)10(;secCxxxxdcotcsc)11(;cscCxxxde)12(;eCxxaxd)13(;lnCaaxxx2cosd)8(xxdsec2;tanCxxx2sind)9(xxdcsc2;cotCx基本积分表12例3求积分.d2xxx解xxxd2xxd25Cx125125.7227Cx根据积分公式（2）Cxxx1d113例4设曲线通过点(1,3),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为),(xfy根据题意知,2ddxxy即)(xf是x2的一个原函数.,d22Cxxx,)(2Cxxf由曲线通过点(1,3),2C所求曲线方程为.22xy21O12x2112yyx2+2yx2(1,3)．14xxgxfd)]()([)1(;d)(d)(xxgxxf证]d)(d)([xxgxxf.)()(xgxf等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）第二节不定积分的运算法则]d)([]d)([xxgxxfxxkfd)()2(.d)(xxfk（k是常数，)0k15例1xxxxd)124(23xxxx23343232.C例2xxxxd)ecos2sin(.esin2cosCxxx例3xxxd)32(2xxxxd)9624(.9ln966ln24ln4Cxxx.C直接积分法16例4xxxd)1(2xxxxd)2(232121Cxxx252352342例5xxxxxd)1(122xxxxxd)1()1(22xxxd)111(2.lnarctanCxx17例8xxxxdsincos2cosxxxxxdsincossincos22xxxd)sincos(.cossinCxx例9xxxdcossin122xxxxxdcossincossin2222xxxd)cscsec(22.cottanCxx例10xxsin1dxxxdcossin12xxxxd)tansec(sec2.sectanCxx18问题xxd2sin,2cosCx)(xuxxd2sinttdsin21Ctcos21.2cos21Cx第三节换元积分法一、第一类换元法(凑微分法))2(d2sin21xxxxxgd)()]([uugd)(xxf)d(CuG)(.)]([CxGxt2xxud)(dxxd2sinxxxdcossin2)(sindsin2xx.sin2Cx凑微分19凑微分法的关键是“凑”,凑的目的是把被积函数的中间变量变得与积分变量相同.20例1dxex3)3(313xdex凑微分)(313cex3)3(3xxdxdx例2运用d(x+k)=dxcxcuxu3lnln321dxx)52sin(例3运用d(ax+b)=adx)52()52sin(21xdx.)52cos(21cx)52(21)52sin(xdx22例4运用d(x2)=2xdx14xxdx1)()(21222xxd21arctan2uxuc1)(2142xxd21arctan()2xc23(1)根据被积函数复合函数的特点和基本积分公式的形式,依据恒等变形的原则,把dx凑成d(x).如22211(2).22xxxedxedxeC(2)把被积函数中的某一因子与dx凑成一个新的微分d(x).如“凑微分”的方法有:lnxdxx方法1较简单,而方法2则需一定的技巧,请同学们务必记牢以下常见的凑微分公式！322lnln(ln)3xdxxC24)(d1dbkxkx(0k)；2d21dxxx；xxxd2d1；xxxlndd1；xxxcosddsin；xxxsinddcos；常用凑微分公式：；xxxtanddsec2；xxxcotddcsc2；xxxarctandd112；xxxarcsindd112等等.25例5xxd231.23ln21Cx)23(d23121xx例6xxxd12)1(d112122xx.)1ln(212Cx例7xxxd12)1(d12122xx.)1(31232Cx26例722dxax2221d1axxa)(d)(1112axaxa.arctan1Caxa例822dxax)0(a)(d/112axaxaa.arcsinCax22dxax22dxax27例9xxxd)1(3xxxd)1(113)1(d])1(1)1(1[32xxx.)1(21112Cxx例102d2xxx)1)(2(dxxxxxxd)1121(31.12ln31Cxx28xxxde.12练习一xxxdcos.254xxxd1.34xxxd1.462.e212Cx.sin515Cx421d21xx.arcsin212Cx631d31xx.arctan313Cxxxxd)1(1.5xxd)(122.arctan2Cx296.)ln21(dxxx)(lndln211xx.ln21ln21Cx)ln21(dln21121xx7.xxxdsinxxdsin2.cos2Cx8.xxdtanxxxdcossinxxcoscosdCxcosln.seclnCx.csclndcotCxxx30例1122daxxxaxaxad)11(21.ln21Caxaxa另：22dxax.ln21Caxaxa例12xxdsecxxdcos1xxxdcoscos2xx2sin1sindCxxsin1sin1ln21Cxx22cos)sin1(ln21.tanseclnCxx类似地，.cotcsclndcscCxxxx31例13xxdsin2xxd2cos121.)2sin21(21Cxxxxdsin3练习xxxdsinsin2xxcosd)cos1(2.cos31cos3Cxxxxxdcossin52)(sind)sin1(sin222xxx)(sind)sinsin2(sin642xxxx.sin71sin52sin31753Cxxx说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.32例14xxdtan3xxxdtan)1(sec2xxxxdtantandtan.seclntan212Cxx例15xxcos1dxxxdcos1cos12xxxdsincos12.csccotCxxxxxxd)csccot(csc2或解xxcos1d2cos2d2xxxxd2sec212.2tanCx33例16xxxd2cos3cos)]cos()[cos(21coscosxxxd)5cos(cos21.5sin101sin21Cxx例17xxxxxdcossincossin)cos(sindcossin1xxxx.cossinlnCxx例18xxxxdcossinsinxxxxxxxdcossincossincossin21.)cossinln(21Cxxx34例19xxde11解法1xxxxde1ee1原式xxxd)e1e1(.)e1ln(Cxx解法2xxxd1ee原式.)e1ln(Cx解法3xxxxde)1(ee原式xxxde)1e1e1(.e1elnCxx35例20.de)11(12xxxx)1(de1xxxx.e1Cxx36解例21设求.,cos)(sin22xxf)(xf令xu2sin,1cos2ux,1)(uufduuuf1)(,212Cuu.21)(2Cxxxf37第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法，不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要熟记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因子。38不能凑出xd,作变换tx)0(t,则xx1dtttd12二、第二类换元法，2tx，ttxd2dttd)111(2，Ctt)1l