3.2.1函数的单调性(4课时)(中职)

第三章函数3.2.1函数的单调性3.2函数的性质问题1观察某地某日气温时段图（图在46页），回答下列问题。（1）时，气温最低为，时，气温最高为．（2）随着时间的增加，在时间段0时到6时的时间段内，气温不断地；6时到14时这个时间段内，气温不断地．创设情景兴趣导入62.21412.5上升下降[2.2,12.5]值域为问题2下图为股市中，某股票在半天内的行情，请描述此股票的涨幅情况.创设情景兴趣导入121312.39:30[12,13]值域为xyoxOy1124-1-2(1)()1fxx2(2)()fxx1.从左至右图象————2.在区间(-∞,+∞)上，随着x的增大，f(x)的值随着————2.(0,+∞)上从左至右图象———，当x增大时f(x)随着———上升增大下降1.(-∞,0]上从左至右图象当x增大时f(x)随着减小思考1：画出下列函数的图象，根据图象思考当自变量x的值增大时,函数值是如何变化的？()fx新课探究上升增大xyoxOy1124-1-2(1)()1fxx2(2)()fxx在某一区间内，当x的值增大时,函数值y也增大——图象在该区间内逐渐上升；当x的值增大时,函数值y反而减小——图象在该区间内逐渐下降。函数的这种性质称为函数的单调性思考2：通过上面的观察，如何用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势？对某区间内任意x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)图象在区间(0,+∞)逐渐上升在区间(0,+∞)内随着x的增大，y也增大x0x1x2f(x1)f(x2)12221方案1：在区间（0,＋)上取自变量1，2,∞∵12,f(1)f(2)∴f(x)在(0,+)上,图象逐渐上升∞y方案2:在(0,+∞)内取任意的x1，x2且x1x2时，都有f(x1)f(x2)思考3：如何用数学符号描述这种上升趋势？对某区间内任意x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)图象在区间(0,+∞)逐渐上升在区间(0,+∞)内随着x的增大，y也增大x0x1x2f(x1)f(x2)12221y思考3：如何用数学符号描述这种上升趋势？(0,+∞)设函数y=f(x)的定义域为D,对D内某个区间(a,b),定义如果对于(a,b)上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，(a,b)称为f(x)的增区间.那么就说f(x)在该区间上是单调增函数，那么就说在f(x)这个区间上减函数，Oxyx1x2f(x1)f(x2)类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数y=f(x)的定义域为D如果对于属于定义域内某个区间(a,b)上的任意两个自变量的值x1,x2，设函数y=f(x)的定义域为D如果对于属于定义域内某个区间(a,b)上的任意两个自变量的值x1,x2，那么就说在f(x)这个区间上是增函数，增区间当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，单调区间如果函数y=f(x)在区间(a,b)是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间(a,b)上具有单调性。(a,b)称为f(x)的(a,b)称为f(x)的减区间增函数减函数随着自变量的增加函数值不断增大图像呈上升趋势．随着自变量的增加函数值不断减小图像呈下降趋势．演示动脑思考探索新知.动脑思考探索新知判定函数的单调性有两种方法：借助于函数的图像或根据单调性的定义来判定．函数单调性的判定方法（1）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;判断1：函数f(x)=x2在是单调增函数；,xyo2yx（2）x1,x2取值的任意性判断2：定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1)，则函数f(x)在（1，2）上是增函数；yxO12f(1)f(2)12121()(2)___(1);(0)___(3);(4)___(1);2()(3)___(0);(2)___(1);()()()___;()(4)___4;()(0)__fxfffffffxfffffxfxfxxxfafafafa练习：根据单调性定义填不等号。、是定义在[-4,4]上的增函数，则、是定义在R上的减函数，则3、是定义在R上的增函数，若，则若，则若，则1212_0;()()()______;()(9)______9;()(2)___2fxfxfxxxfafafxfx4、是定义在[0,+)上的减函数，若，则0若，则0若，则结论：利用函数单调性可以不用计算函数值，仅通过自变量大小比较函数值大小，反之也行。.巩固知识典型例题例1小明从家里出发，去学校取书，顺路将自行车送还王伟同学．小明骑了30分钟自行车，到王伟家送还自行车后，又步行10分钟到学校取书，最后乘公交车经过20分钟回到家．这段时间内，小明离开家的距离与时间的关系如图所示．指出这个函数的单调性．观察函数图像说明:1.区间端点处若有定义写开写闭均可.2.图象法判断函数的单调性：从左向右看图象的升降情况.教材练习3.2.1应用知识强化练习1.已知函数图像如下图所示．（1）根据图像说出函数的单调区间以及函数在各单调区间内的单调性；（2）写出函数的定义域和值域．书本P56A组1填空、用不等号填空（1）设函数在区间（1，5）上为增函数则______0()yfx(3)(2)ff（2）设函数在区间（-4，-1）上为减函数则______0()yfx(3)(2)ff结论：利用函数单调性可以不用计算函数值，仅通过自变量大小比较函数值大小，反之也行。（3）设函数在区间（-1，5）上为减函数且，则____________()yfx(2)(2)fxfx5221xx课堂小结1.两个定义：增函数、减函数的定义；②(定义法)证明函数单调性①图象法判断函数的单调性：增函数的图象从左到右减函数的图象从左到右上升下降3.一个数学思想：数形结合2：两种方法课课练P54-55A组2,3,4B组1;再见书本P56A组13.2.1函数的单调性（2）一、函数单调性定义一般地，设函数y=f(x)定义域内的某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在该区间上是增函数．1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域的某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间上是减函数．2．减函数3.单调性、单调区间如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间..巩固知识典型例题分析对于用解析式表示的函数，其单调性可以通过定义来判断，也可以作出函数的图像，通过观察图像来判断．无论采用哪种方法，都要首先确定函数的定义域．例1：判断函数y=4x-2的单调性．观察函数图像用定义证明函数单调性的四步骤：（1）设量:设任意1212,.xxxx（）且（2）作差（3）变形作差常通过“因式分解”、“通分”、“配方”等手段将差式变形为因式乘积或平方和形式)()(21xfxf判断的符号12()()fxfx（4）结论:并作出单调性的结论).()(21xfxf即123()0,xx12()()0,fxfx∵12,xx,021xx∴∴练习1.判断下列函数的单调性：解：设任意1212,,xxRxx且∴函数在R上是减函数．123()xx()31fxx则1212()()(31)(31)fxfxxx()31fxx课课练P55B组2.理论升华整体建构xyxy1.当k0时，图像从左至右是的，函数是单调函数；2.当k0时，图像从左至右是的，函数是单调函数．由一次函数y=kx+b(k≠0)的图像分析其单调性kyx上升增下降减请结合图象，说说二次函数的单调区间.例2：书本P57B组2.2()10fxx在（-，）上的单调性并证明。判断值域：？[1,）在上是减函数在上是增函数在上是增函数在上是减函数--2ba，,2ba在(-∞,+∞)上是减函数在(-∞,+∞)上是增函数一次函数y=kx+b(k≠0)yox当k0时,yox当k0时,yox当a0时,yox当a0时,--2ba，,2ba二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)请结合图象类比一次函数单调性，说说二次函数的单调区间.思考探究2()22(,4]fxxaxa思考：若函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是C.4.4.4.4AaBaCaDa翻译为：在对称轴左边2()4(2fxxmxm若函数的增区间为，），那么实数的取值范围是D.2.4.2.4AmBmCmDm在对称轴右边练习：课课练P541(4)在上是减函数在上是增函数在上是增函数在上是减函数--2ba，,2ba在(-∞,+∞)上是减函数在(-∞,+∞)上是增函数一次函数y=kx+b(k≠0)yox当k0时,yox当k0时,yox当a0时,yox当a0时,--2ba，,2ba二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)请结合图象类比一次函数单调性，说说二次函数的单调区间..理论升华整体建构1.当k0时，在各象限中y值分别随x值的增大而，函数在(-∞,0)上是单调函数，在(0,+∞)上是单调函数；2.当k0时，在各象限中y值分别随x值的增大而，函数在(-∞,0)上是单调函数，在(0,+∞)上是单调函数。由反比例函数(k≠0)的图像分析其单调性kyx减小减减增大增增？画出函数图象，写出定义域并写出单调区间：x1yxy1yx的单调减区间是_____________(,0)(0,),讨论：根据函数单调性的定义1(0)(,0)(0,)yxx能不能说在定义域上是单调减函数?定义域为函数xy1),0()0,(拓展探究x1y2x2()fx1()fx1x在(0,+∞)上任取x1、x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)1()fxxyOx-11-11取自变量－11，而f(－1)f(1)∴不能说在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数要写成(-∞,0)，(0,+∞)的形式。1yx逗号隔开3(),0fxx练习1：判断在（-）上的单调性。3()fxxyOx2x2()fx1()fx1x求值域练习2.函数的a=,开口顶点坐标对称轴单调增区间，单调减区间值域为22xy02（，）),0[2(1)yx242yxx练习3.函数的a=,开口顶点坐标对称轴单调增区间，单调减区间值域为练习4.函数的a=,开口顶点坐标对称轴单调增区间，单调减区间值域为0x2]（，10（，）1x[1)，1]（，[0,)(2,2)2x[2,)2]（，[2,）]0，（1向下1向上1向上复合函数的单调性课课练B组最后一题23yx法二：可看作函数________和函数_______________的复合函数，=-定义域为_______________，____________它在上为________函数.,0)(0,(-+)ゥ2ux=3yu=-,0(-)¥增增,0)(0,在(-上减，在+)上增ゥ____________它在上为________函数.减0+(，)¥23(0,)yx判断函数在上的单调性=-+?y=f(u),u=g(x)构成复合函数f[g(x)]，它的单调性与两个函数的单调性密切相关,其规律如下：函数单调性u=g(x)y=f(u)y=f[g(x)]注意定义域,单调区间必在定义域内增增增增减减减增减减减增同増异减(0,在+)上¥21yx练习2：可看作函数________和函数________的复合函数，=+定义