勾股定理的各类题型

..勾股定理各种题型：一：勾股定理面积相等法：方法1：方法2：..方法3：二：方程思想和勾股定理结合的题目1.（2016春•宜春期末）一旗杆在其的B处折断，量得AC=5米，则旗杆原来的高度为（）A．米B．2米C．10米D．米【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有【分析】可设AB=x，则BC=2x，进而在△ABC中，利用勾股定理求解x的值即可．【解答】解：由题意可得，AC2=BC2﹣AB2，即（2x）2﹣x2=52，解得x=，所以旗杆原来的高度为3x=5，故选D．【点评】能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形．..2.（2016春•防城区期中）如图，在△ABC中，∠B=40°，EF∥AB，∠1=50°，CE=3，EF比CF大1，则EF的长为（）A．5B．6C．3D．4【考点】勾股定理；平行线的性质．菁优网版权所有【分析】由平行线的性质得出∠A=∠1=50°，得出∠C=90°，设CF=x，则EF=x+1，根据勾股定理得出方程，解方程求出x，即可得出EF的长．【解答】解：∵EF∥AB，∴∠A=∠1=50°，∴∠A+∠B=50°+40°=90°，∴∠C=90°，设CF=x，则EF=x+1，根据勾股定理得：CE2+CF2=EF2，即32+x2=（x+1）2，解得：x=4，∴EF=4+1=5，故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质、直角三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．3.（2015春•蚌埠期中）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与D重合，折痕为EF，则BE的长为（）..A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm【考点】翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有【分析】根据折叠的性质可得BE=ED，设AE=x，表示出BE=9﹣x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：∵长方形折叠点B与点D重合，∴BE=ED，设AE=x，则ED=9﹣x，BE=9﹣x，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，即32+x2=（9﹣x）2，解得x=4，∴AE的长是4，∴BE=9﹣4=5，故选C．【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于AE的长的方程是解题的关键．4.（2008秋•奎文区校级期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？..【考点】勾股定理的应用．菁优网版权所有【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【解答】解；设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：，解得：x=12（尺），芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），答：水池深12尺，芦苇长13尺．【点评】此题是一道古代问题，体现了我们的祖先对勾股定理的理解，也体现了我国古代数学的辉煌成就．三：勾股定理应用：求最短距离问题1.（2014秋•环翠区期中）如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（）A．12cmB．11cmC．10cmD．9cm【考点】平面展开-最短路径问题．菁优网版权所有..【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【解答】解：将长方体展开，连接A、B′，则AA′=1+3+1+3=8（cm），A′B′=6cm，根据两点之间线段最短，AB′==10cm．故选C．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．2.（2016春•繁昌县期末）如图，是一长、宽都是3cm，高BC=9cm的长方体纸箱，BC上有一点P，PC=BC，一只蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是（）A．6cmB．3cmC．10cmD．12cm【考点】平面展开-最短路径问题．菁优网版权所有【分析】将图形展开，可得到安排AP较短的展法两种，通过计算，得到较短的即可．【解答】解：（1）如图1，AD=3cm，DP=3+6=9cm，在Rt△ADP中，AP==3cm；（2）如图2，AC=6cm，CP=3+3=6cm，Rt△ADP中，AP==6cm．..综上，蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是6cm．故选A．【点评】本题考查了平面展开﹣﹣最短路径问题，熟悉平面展开图是解题的关键．3.（2016•大悟县二模）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是（）A．13cmB．4cmC．4cmD．52cm【考点】平面展开-最短路径问题．菁优网版权所有【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【解答】解：由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，∵易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，∴x2=（12×4）2+202，所以彩带最短是52cm．..故选D【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．4.（2016•游仙区模拟）长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为16cm、6cm和6cm，在罐内点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形ABCD中心的正上方2cm处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是多少cm．（）A．7B．C．24D．【考点】平面展开-最短路径问题．菁优网版权所有【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．【解答】解：①若蚂蚁从平面ABCD和平面CDFE经过，蚂蚁到达饼干的最短距离如图1：..H′E===7，②若蚂蚁从平面ABCD和平面BCEH经过，则蚂蚁到达饼干的最短距离如图2：H′E==故选B．【点评】考查了平面展开﹣最短路径问题，此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段．5.（2015秋•宜兴市校级期中）如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是10cm．..【考点】平面展开-最短路径问题．菁优网版权所有【分析】此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为：×2π×=6（cm），展开得：∵BC=8cm，AC=6cm，根据勾股定理得：AB==10（cm）．故答案为：10．【点评】此题主要考查了立体图形的展开和两点之间线段最短，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度．四：网格问题（简单）1、在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则△ABC中BC边上的高为..答案：设△ABC中BC边上的高为h．∵AB^2=5，AC^2=20，BC^2=25，∴BC^2=AB^2+AC^2，∴∠A=90°，S△ABC=21ABAC=21BCh，即525=5h．解得，h=2．故答案是：2．2.如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图（一）中四边形ABCD就是一个“格点四边形”．（1）求图（一）中四边形ABCD的面积；（2）在图（二）方格纸中画一个格点三角形EFG，使△EFG的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对称图形．DCBA..图（一）图（二）答案：解：（1）方法一：S＝12×6×4＝12方法二：S＝4×6－12×2×1－12×4×1－12×3×4－12×2×3＝12（2）（只要画出一种即可）3、如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求完成下列各题：（1）画AD∥BC（D为格点），连接CD；（2）试判断△ABC的形状？请说明理由；答案：（1）图象如图所示；（2）由图象可知AB²=1²+2²=5，..AC²=2²+4²=20，BC²=3²+4²=25，∴BC²=AB²+AC²，△ABC是直角三角形。4、如图，是一块由边长为20cm的正方形地砖铺设的广场，一只鸽子落在点A处，它想先后吃到小朋友撒在B、C处的鸟食，则鸽子至少需要走多远的路程？CBA答案：AB=5cm，BC=13cm．所以其最短路程为18cm（难题）5、如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。..【答案】（1）单位正三角形的高为，面积是。（2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积。（3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示），则在Rt△ACK中，，，故五：方位角问题1、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了3500m到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点．（1）求A、C两点之间的距离；（2）确定目的地C在营地A的什么方向？..2、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？答案：如图,甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时,走了12千米,即OA=12．乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时,走了5千米,即OB=5．在Rt△OAB中,AB2=122十52=169,∴AB=13,因此,上午10：00时,甲、乙两人相距13千米．∵15＞13,∴甲、乙两人还能保持联系．..答：上午10：00甲、乙两人相距13千米,两人还能保持联系．3、如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？答案：从两船航行的方向看,北偏东40度和南偏东50度的夹角为90AC⊥AB甲船速度每小时16海里,所以AC=16×3=48海里AB²=BC²-AC²=3600-2304=1296AB=36所以乙船速度为每小时：36÷3=12海里4、如图，北海海面上，一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距A地40海里的B处训练，突然接基地命令，要该舰前往C岛，接送一病危渔民到基地医院救治，已知C岛在A的北偏东600方向，且在B北偏西450方向，军舰从B处出发，平均每小时走20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院？（精确到0.1小时，参考数据：73.13，41.12..解：作CD⊥AB于D，根据题意，得∠CAB=30°，∠CBD=45°不妨设CD=x海里，则BD=x海里，AD=2x海里，AC=x海里，BC=2x海里，∴3x+x=40∴x=（203-20）海里∴AC+BC=）（）（203202203202=206+403-202-40=）（2-2-22620≈49.98（海里）49.98÷20=2.499≈2.5（小时）答：需要大约2.5小时才能把患病渔民送到基地医院。