求数列通项公式方法大全

求数列通项公式的常用方法类型1、()nnSfa解法：利用)2()1(11nSSnSannn与)()(11nnnnnafafSSa消去nS)2(n或与)(1nnnSSfS)2(n消去na进行求解。例1已知无穷数列na的前n项和为nS，并且*1()nnaSnN，求na的通项公式？1nnSa，111nnnnnaSSaa，112nnaa，又112a，12nna.变式1.已知数列na中，311a，前n项和nS与na的关系是nnannS)12(，求na变式2.已知数列}{na的前n项和为nS，且满足322naSnn)(*Nn．求数列}{na的通项公式变式3.已知数列{}an的前n项和Snbnn()1，其中{}bn是首项为1，公差为2的等差数列.求数列{}an的通项公式；变式4.数列na的前n项和为nS，11a，*12()nnaSnN．求数列na的通项na变式5.已知数列}{na的前n项和为nS，且满足322naSnn)(*Nn．求数列}{na的通项公式；变式6.已知在正整数数列}{na中，前n项和nS满足2)2(81nnaS（1）求证：}{na是等差数列（2）若nb3021na，求}{nb的前n项和的最小值类型2、bkaann1型（其中bk、为常数，0kb，1k）解：设)(1makmann∴mkmkaann1比较系数：bmkm∴1kbm∴}1{kban是等比数列，公比为k，首项为11kba∴11)1(1nnkkbakba∴1)1(11kbkkbaann例1已知数列na中,11a,121(2)nnaan,求na的通项公式.【解析】:利用1()2()nnaxax,xaann12,求得1x,112(1)nnaa,1na是首项为112a,公比为2的等比数列,即1221nna,12nna,21nna变式1.已知数}{na的递推关系为4321nnaa，且11a求通项na类型3、)(1nfaann型，（()fn可求前n项和），利用1211()()nnnaaaaaa求通项公式的方法称为累加法。例1.已知}{na的首项11a，naann21（*Nn）求通项公式。解：)1(21naann)2(221naann)3(232naann……2223aa1212aannnaan21)]1(21[2∴12nnan变式1.已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。变式2.已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。变式3.已知数列{}na中,11a,1n-13nnaa(2)n求数列na的通项公式.变式4.已知数列na满足11a，)1(11nnaann，求na的通项公式。类型4bankaann1型解：可设)()1(1BAnakBnAann∴ABkAnkkaann)1()1(1∴bABkaAk)1()1(解得：1kaA，2)1(1kakbB∴}{BAnan是以BAa1为首项，k为公比的等比数列∴11)(nnkBAaBAna∴BAnkBAaann11)(将A、B代入即可例1.已知：11a，2n时，12211naann，求}{na的通项公式。解：设])1([211BnAaBAnannBAAnaann212121211∴12121221BAA解得：64BA∴3641a∴}64{nan是以3为首项，21为公比的等比数列∴1)21(364nnna∴64231nann类型5nnnqkaa1型（0q）等式两边同时除以1nq得qqaqkqannnn111令nnnqaC则qCqkCnn11∴}{nC可归为bkaann1型例1.已知}{na中，11a，nnnaa221（2n）求na。由nnnaa221得12211nnnnaa∴}2{nna成等差数列，)1(212nann∴122nnnna类型6nnnBqAaa1（qBA、、为常数，下同）型，可化为)(11nnnnqaAqa的形式.例1.在数列na中，111342,1nnnaaa,求通项公式na解：原递推式可化为：)13(231nnanna①比较系数得4，①式即是：)(aannnn1134234.则数列}34{1nna是一个等比数列，其首项534111a，公比是2.∴112534nnna即112534nnna.变式1.已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。变式2.已知数列{}na满足112356nnnaaa，，求数列na的通项公式。变式3.已知数列{}na满足1135241nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。类型7、nnanfa)(1型。（1）若)(nf是常数时，可归为等比数列。（2）若)(nf可求积，利用恒等式321121(0,2)nnnnaaaaaanaaa求通项公式的方法称为累乘法。例1：已知：311a，11212nnanna（2n）求数列}{na的通项。解：1235375325212321212122332211nnnnnnnaaaaaaaaaannnnnn∴1211231nnaan变式1.已知11a,1()nnnanaa*()nN,求数列na通项公式.变式2.（2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列{}na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan，，求{}na的通项公式。变式3.已知数列na满足321a，nnanna11，求na。变式4.已知}{na中，nnanna21且21a求数列通项公式。类型8、1nnncaaad(0,0)cd取倒数变成1111nndacac的形式的方法叫倒数变换.例1已知数列na*()nN中,11a,121nnnaaa,求数列na的通项公式.【解析】:将121nnnaaa取倒数得:1112nnaa,1112nnaa,1na是以111a为首项,公差为2的等差数列.112(1)nna,121nan.例2已知}{na中，41a，144nnaa（2n）求na。解：nnnnaaaa)2(24221∴2121)2(2211nnnnaaaa（1n）∴2121211nnaa（1n）设21nnab即)1(211nbbnn∴}{nb是等差数列∴221)1(21211nnaan22nan例3.已知数列｛an｝满足：a1＝32，且an＝n1n13nan2nN2an1－－（，）＋－求数列｛an｝的通项公式；解：（1）将条件变为：1－nna＝n11n113a－－（－），因此｛1－nna｝为一个等比数列，其首项为1－11a＝13，公比13，从而1－nna＝n13，据此得na＝nnn331－（n1）变式1.已知数列｛na｝中11a且11nnnaaa（Nn），，求数列的通项公式。变式2.数列na中，11a，12,()2nnnaanNa变式3.在数列｛na｝中，1a=1,nnnaan1)1(，求na的表达式。变式4.数列}{na中，nnnnnaaa11122，21a，求}{na的通项。变式5.已知}{na中，11a，其前n项和nS与na满足1222nnnSSa（2n）（1）求证：}1{nS为等差数列（2）求}{na的通项公式类型9、nnnqapaa12（其中p，q均为常数）。(特征根法)：对于由递推公式nnnqapaa12，21,aa给出的数列na，方程02qpxx，叫做数列na的特征方程。若21,xx是特征方程的两个根，（1）当21xx时，数列na的通项为1211nnnBxAxa，其中A，B由21,aa决定（即把2121,,,xxaa和2,1n，代入1211nnnBxAxa，得到关于A、B的方程组）；（2）当21xx时，数列na的通项为11)(nnxBnAa，其中A，B由21,aa决定（即把2121,,,xxaa和2,1n，代入11)(nnxBnAa，得到关于A、B的方程组）。3、nnnaBaAa12型，可化为)()(112nnnnaaAaa的形式。例11在数列{na}中，2,121aa，当Nn，nnnaaa6512①求通项公式na.解：①式可化为：))(5(112nnnnaaaa比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.①式可化为：)2(32112nnnnaaaa则}2{1nnaa是一个等比数列，首项122aa=2-2（-1）=4，公比为3.∴11342nnnaa.利用上题结果有：112534nnna.例1数列na：),0(025312Nnnaaannn，baaa21,,求na解（特征根法）：的特征方程是：02532xx。32,121xx,1211nnnBxAxa1)32(nBA。又由baaa21,，于是)(32332baBabABAbBAa故1)32)((323nnbaaba变式1.已知数列na中，11a,22a,nnnaaa313212，求na。1731:()443nnkeya。变式2.已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaanN求数列na的通项公式；类型10rnnpaa1)0,0(nap解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为qpaann1，再利用待定系数法求解。例1已知数列｛na｝中，2111,1nnaaaa)0(a，求数列.的通项公式na解：由211nnaaa两边取对数得aaann1lglg2lg1，令nnablg，则abbnn1lg21，再利用待定系数法解得：12)1(nnaaa变式1.【2002年上海高考题】若数列{na}中，1a=3且21nnaa（n是正整数），则它的通项公式是na=类型11周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例1若数列na满足)121(,12)210(,21nnnnnaaaaa，若761a，则20a的值为___________。变式【2005湖南文5】已知数列}{na满足)(133,0*11Nnaaaannn，则20a=（)A．0B．3C．3D．23类型12平方（开方）法【例1】若数列{na}中，1a=2且213nnaa（n2），求它的通项公式是na.解将213nnaa两边平方整理得3212nnaa。数