一元三次函数性质总结

一元三次函数的图像和性质第一页共二十三页三次函数的图像及性质形如32()(0)fxaxbxcxda的函数叫做三次函数，其中x是自变量，,,,abcd是常数。它具有以下性质：1、图像、单调区间与极值三次函数求导以后是二次函数，2()32fxaxbxc，它的零点个数决定了三次函数的极值情况与单调区间，下面是三次函数及其对应的导函数全部共六种图像：()fx()fx()fx()fx()fx()fxxxx()fx()fx()fx()fx()fx()fxxxx0a0a一元三次函数的图像和性质第二页共二十三页2、零点个数若方程()0fx的判别式0，则()fx在R上是单调函数，无极值，值域为(,)，故有唯一的零点。若方程()0fx的判别式0，方程有两个不等的实根1x、2x，它们是函数()fx的极值点，则：（i）当12()()0fxfx时，()fx有一个零点；x()fxx()fxx()fxx()fx（ii）当12()()0fxfx时，()fx有两个零点；x()fxx()fxx()fxx()fx（iii）当12()()0fxfx时，()fx有三个零点。x()fxx()fx一元三次函数的图像和性质第三页共二十三页3、对称中心三次函数32()(0)fxaxbxcxda一定有对称中心。其对称中心的横坐标为3bxa。（三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象的对称中心在其导函数f＇(x)=3ax2+2bx+c的图象对称轴上．若三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有极值，那么它的对称中心是两个极值点的中点．）4、过平面内一点能作三次函数图像切线的条数3条2条1条3条1条1条2条一元三次函数的图像和性质第四页共二十三页三次函数的三大性质初探随着导数内容进入新教材，函数的研究范围也随之扩大，用导数的方法研究三次函数的性质，不仅方便实用，而且三次函数的性质变得十分明朗，本文给出三次函数的三大主要性质.1单调性三次函数)0()(23adcxbxaxxf,(1)若032acb，则)(xf在),(上为增函数；(2)若032acb，则)(xf在),(1x和),(2x上为增函数，)(xf在),(21xx上为减函数，其中aacbbxaacbbx33,332221.证明cbxaxxf23)('2,△=)3(412422acbacb，(1)当0即032acb时，0)('xf在R上恒成立，即)(xf在),(为增函数.(2)当0即032acb时，解方程0)('xf，得aacbbxaacbbx33,3322210)('xf1xx或2xx)(xf在),(1x和),(2x上为增函数.0)('xf21xxx)(xf在),(21xx上为减函数.由上易知以下结论:三次函数)0()(23adcxbxaxxf,(1)若032acb，则)(xf在R上无极值；(2)若032acb，则)(xf在R上有两个极值；且)(xf在1xx处取得极大值，在2xx处取得极小值.一元三次函数的图像和性质第五页共二十三页2根的性质三次函数)0()(23adcxbxaxxf(1)若032acb，则0)(xf恰有一个实根；(2)若032acb,且0)()(21xfxf，则0)(xf恰有一个实根；(3)若032acb,且0)()(21xfxf，则0)(xf有两个不相等的实根；(4)若032acb,且0)()(21xfxf，则0)(xf有三个不相等的实根.证明(1)(2)0)(xf含有一个实根的充要条件是曲线)(xfy与X轴只相交一次，即)(xf在R上为单调函数或两极值同号，所以032acb或032acb，且0)()(21xfxf.(3)0)(xf有两个相异实根的充要条件是曲线)(xfy与X轴有两个公共点且其中之一为切点，所以032acb，且0)()(21xfxf.(4)0)(xf有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(xfy与X轴有三个公共点，即)(xf有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以032acb且0)()(21xfxf.由上易得以下结论：三次函数)0()(23adcxbxaxxf在),[m上恒正的充要条件是0)(mf(m≥x2),或0)(mf且0)(2xf(mx2).一元三次函数的图像和性质第六页共二十三页3对称性三次函数)0()(23adcxbxaxxf的图象关于点))3(,3(abfab对称，并且)('xf在abx3处取得最小值，其图象关于直线abx3对称.证1)3()3)(3()3()(2323abfabxabcabxadcxbxaxxf易知xabcaxxg)3()(23是奇函数，图象关于原点对称，则)(xf关于点))3(,3(abfab对称.cbxaxxf23)('2，0a当abx3时，)('xf取得最小值，显然)('xfy图象关于abx3对称.证2设)(xfy的图象关于点),(nm对称，任取)(xfy图象上点),(yxA，则A关于),(nm的对称点)2,2('ynxmA也在)(xfy图象上dxmcxmbxmayn)2()2()2(223,)2248()412()6(23223mdmcbmamxcmbamxbmaaxy)3(3)2248(4126232abfnabmndmbbmamdcmbamcbmab由上又可得以下结论：)(xfy是可导函数，若)(xfy的图象关于点),(nm对称，则)('xfy图象关于直线mx对称.证明)(xfy的图象关于),(nm对称，则,2)2()(nxmfxfxxfxxfxfx)()(lim)('0xxfnxxfnxxmfxxmfxmfxx)(2)(2lim)2()2(lim)2('00)(')()(lim0xfxxxfxfx)('xfy图象关于直线mx对称.一元三次函数的图像和性质第七页共二十三页若)(xfy图象关于直线mx对称，则)('xfy图象关于点)0,(m对称.证明)(xfy图象关于直线mx对称，则)2()(xmfxf，　　xxmfxxmfxmfxxfxxfxfxx)2()2(lim)2(')()(lim)('00)(')()(lim0xfxxfxxfx，0)(')2('xfxmf，)('xfy图象关于点)0,(m对称.掌握上面的研究方法和三次函数的三大性质，对于解决有关三次函数的问题是十分有益的.一元三次函数的图像和性质第八页共二十三页【常用结论】1．（重点）三次函数的单调性由a来决定；b、c决定函数有没有极值。d确定函数图象与y轴交点。2．（重点）函数f(x)的极值由导函数f＇(x)=3ax2+2bx+c的判别式△决定：①△≤0无极值，单调区间为R②△＞0既有极大值，又有极小值。有三个单调区间。3．（了解）三次函数图象的对称性：三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象是中心对称图形，其对称中心是（)3(,3abfab）．（三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象经过平移后能得到奇函数图象，可以用待定系数法求得）三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象的对称中心在其导函数f＇(x)=3ax2+2bx+c的图象对称轴上．若三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有极值，那么它的对称中心是两个极值点的中点．一元三次函数的图像和性质第九页共二十三页【典例精析】例题.设a∈R,讨论关于x的方程x3+3x2-a=0的相异的实根的个数？【实战演练】1.若函数f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，则实数a的取值范围是。2.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值又有极小值，则a的取值范围是.3.已知函数y=f(x)=x3+px2+qx的图象与x轴切于非原点的一点，且y极小=-4,那么p=,q=.4．已知函数f(x)=-x2+8x与g(x)=6lnx+m的图象有且只有两个不同的交点，求实数m的值？5.已知f(x)=x3-3x,过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围？6.设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R.（1）求函数f(x)的单调区间和极值（2）若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围.（3）已知当x∈(1,+∞)时,f(x)≥k(x-1)恒成立,求实数k的取值范围.一元三次函数的图像和性质第十页共二十三页三次函数与导数例题与练习答案例1.(14全国大纲卷文21,满分12分）函数32()33(0)fxaxxxa.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若函数()fx在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.解：（Ⅰ）2()363fxaxx，2()3630fxaxx的判别式△=36（1-a）.（ⅰ）当a≥1时，△≤0，则()0fx恒成立，且()0fx当且仅当1,1ax，故此时()fx在R上是增函数.（ⅱ）当1a且0a，时0，()0fx有两个根：121111,aaxxaa，若01a，则12xx,当2(,)xx或1(,)xx时，()0fx，故()fx在21(,),(,)xx上是增函数；当21(,)xxx时，()0fx，故()fx在21(,)xx上是减函数；若0a，则21xx当),(1xx或),(2xx时，()0fx，故()fx在),(1x和),(2x上是减函数；当),(21xxx21(,)xxx时，()0fx，故()fx在),(21xx上是增函数；（Ⅱ）当0a且0x时,0363)(2xaxxf,所以当0a时，()fx在区间（1，2）是增函数.当0a时，()fx在区间（1,2）是增函数，当且仅当(1)0f且(2)0f，解得504a.综上，a的取值范围是5[,0)(0,)4.一元三次函数的图像和性质第十一页共二十三页例2.(14安徽文数20)（本小题满分13分）设函数23()1(1)fxaxxx，其中0a。（1）讨论()fx在其定义域上的单调性；（1）当[0,1]x时，求()fx取得最大值和最小值时的x的值.（Ⅰ）()fx的定义域为(,)，2()123fxaxx令()0fx，得1212143143,,33aaxxxx所以12()3()()fxxxxx当1xx或2xx时，()0fx；当12xxx时，()0fx，故()fx在12(,)(,)xx和内单调递减，在12(,)xx内单调递增（Ⅱ）因为0a，所以120,0xx（ⅰ）当4a时，21x，由（Ⅰ）知，()fx在[0，1]上单调递增，所以()fx在0x和1x处分别取得最小值和最大值（ⅱ）当04a时，21x，由（Ⅰ）知，()fx在[0，2x]上单调递增，在[2x，1]上单调递减，因此()fx在21433axx处取得最大值又(0)1,(1)ffa，所以当01a时，()fx在1x处取得最小值；当1a时，()fx在0x和1x处同时取得最小值；当04a时，()fx在0x处取得最小值。一元三次函数的图像和性质第十二页共二十三页例4.（14年天津文科19,