1.3.2杨辉三角和二项式系数的性质课件(人教A版选修2-3)

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杨辉三角探秘浙江省富阳市新登中学高二备课组二项式(a+b)n展开式的二项式系数,当n依次取1,2,3...时,列出的一张表,叫做二项式系数表,因它形如三角形,南宋的杨辉对其有过深入研究,所以我们又称它为杨辉三角.杨辉《详解九章算法》中记载的表杨辉三角第5行1551第0行1杨辉三角与二项系数第1行11第2行121第3行1331第4行141第6行161561第n-1行111nC121nC11rnCrnC121nnC第n行11nC12nC1nnC………………………………1520101064rnC杨辉三角基本性质(1)表中每个数都是组合数,第n行的第r+1个数是)!(!!rnrnCrn.(2)三角形的两条斜边上都是数字1,而其余的数都等于它肩上的两个数字相加,也就是rnrnrnCCC111.(3)杨辉三角具有对称性(对称美),即rnnrnCC.(4)杨辉三角的第n行是二项式(a+b)n展开式的二项式系数,即nnrnCCn2n1n0CCC第5行1551第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行141第6行161561第n-1行111nC121nC11rnCrnC121nnC第n行11nC12nC1nnC………………………………1520101064rnC再探杨辉三角★横看杨辉三角中各行数字第1行1+1=2第2行1+2+1=4=22第3行1+3+3+1=8=23第4行1+4+6+4+1=16=24第5行1+5+10+10+5+1=32=25...第n行nnnnnrnnnnCCCCCC21210(1)第n行数字的和为2n.(2)前n行(含第0行)所有数的和为2n+1–1性质1★横看杨辉三角中各行数字一看:1,3,7,15…各行数字三看:2,3,5,7,11…二看:4,8,16,…各行数字•1、第1,3,7,15,…这些行即2k-1(k是正整数)行的各个数字均为奇数,2k行除两端的1之外都是偶数。•2、当行数P是质数(素数),除去两端的数字1以外,行数P整除其余所有的数。性质2★斜看杨辉三角中各行数字的和从杨辉三角中一个确定的数的“左(右)肩”出发,向右(左)上方作一条和左斜边平行的射线,在这条射线上的各数的和等于这个数根据这一性质,猜想下列数列的前n项和:1+1+1+...+1=(第1条斜线)1+2+3+...+11nC=(第2条斜线)1+3+6+...+21nC=(第3条斜线)1+4+10+...+31nC=(第4条斜线)...rnrrrrrrCCCC121(第r+1条斜线)★斜看杨辉三角中各行数字的和一般地,在第m条斜线上(从右上到左下)前n个数字的和,等于第m+1条斜线上的第n个数.性质3第5行15101051第6行1615201561第7行172135352171第1行11第0行1第2行121第3行1331第4行14641……第8行18285670562881★斜看杨辉三角中各数的和性质41,1,2,3,5,8,13,21,34,…此数列{an}满足,a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2(n≥3)这就是著名的斐波那契数列.世事洞明皆数学,留心处处是文章。○中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题:假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子,再过一个月就开始生下一对小兔子,并且以后每个月都生一对小兔子.设所生一对兔子均为一雄一雌,且均无死亡.问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子?兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...○杨辉三角与“纵横路线图”“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题:如图是某城市的部分街道图,纵横各有五条路,如果从A处走到B处(只能由北到南,由西向东),那么有多少种不同的走法?AB由此看来,杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系○杨辉三角与弹子游戏在游艺场,可以看到如图的弹子游戏,小球(黑色)向容器内跌落,碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落,碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落,如是,一直下跌,最终小球落入底层,根据具体区域获得奖品。试问:为什么两边区奖品高于中间区奖品?成果展示•1、杨辉三角的第n行数字的和为2n。前n行(含第0行)所有和为2n-1,它恰好比第n行的和2n小1;•2、杨辉三角的第1,3,7,15,…行,即第2K-1(k是正整数)行的各个数字均为奇数。•3、当行数P是质数(素数),除去两端的数字1以外,行数P整除其余所有的数。•4、一般地,在第m条斜线上(从右上到左下)前n个数字的和,等于第m+1条斜线上的第n个数.•5、数列{an}满足,a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2(n≥3)这就是著名的斐波那契数列.方法总结•1、运用了联系、类比的观点看问题;•2、运用了从特殊到一般的归纳猜想与证明的思想方法;•3、学会从多角度看问题,横看成岭侧成峰,远近高低各不同;•4、锤炼发现问题、提出问题、解决问题的能力。研究性作业:除了以上性质(蕴含的)数字之外,还有哪些好的性质?第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051………………1、(04.上海春季高考)如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第_____行中从左至右第14与第15个数的比为2:334链接高考2、如右图,它满足:(1)第n行首尾两数均为n,(2)表中的递推关系类似杨辉三角,则第n行(n≥2)第2个数.第1行1第2行22第3行343第4行4774第5行51114115第6行6162525166………………3、(2006年湖北卷)将杨辉三角中的每一个数rnC都换成分数rnCn11,就得到一个如右图所示的分数三角形,称为莱布尼茨三角形.从莱布尼茨三角形可以看出rnxnrnnCCnCn111111,其中x=____.令22111160130112131nnnCnnCa,则na开始I=3I≤12F=S+QQ=S,S=F输出F结束S=1,Q=1NY

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