5.7-多元函数的Taylor公式与极值

第一节预备知识第二节极限与连续第三节偏导数与全微分第四节微分运算法则第五节方向导数与梯度第六节多元函数微分学的几何应用第七节多元函数的Taylor公式与极值*第八节n元m维向量值函数的微分法第九节复变函数的导数与解析函数第五章多元函数微分法及其应用实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？xyyx4570yx7680每天的收益为),(yxf)7680)(2.1()4570)(1(yxyyxx求最大收益即为求二元函数的最大值.问题的提出1．二元函数的极值的定义定义7.1设函数),(yxfz在点),(yx的某邻域内有定义，对于该邻域内异于点),(yx的点),(yx，如果都适合不等式),(),(yxfyxf，则称函数在点),(yx有极大值),(yxf；如果都适合不等式),(),(yxfyxf，则称函数在点),(yx有极小值),(yxf。极大值和极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为),(yx极值点。7.2多元函数的极值一、极值函数222),(yxayxf在点)0,0(处有极大值af)0,0(。xoyzxoyz二元函数极值的概念可推广到元函数n。22(,)(0,0)(0,0)0;fxyxyf函数在点取极小值2．定理7.2（极值存在的必要条件）设函数),(yxfz在点),(yx具有偏导数，且在点),(yx处有极值，则必有0),(yxfx，0),(yxfy。定理7.2可推广到元函数n。同时满足0),(yxfx，0),(yxfy的点),(yx称为函数),(yxfz的驻点。注意：可导函数的极值点驻点例如，点)0,0(为xyz函数的驻点，但不是极值点。3．定理7.3（极值存在的充分条件）设函数),(yxfz在点),(yxM的某邻域内具有二阶连续偏导数，又0),(yxfx，0),(yxfy，记Ayxfxx),(，Byxfxy),(，Cyxfyy),(，则),(yxf在点),(yxM处是否取得极值的条件如下：（1）当02BAC时有极值，且时有极大值0A，当时有极小值0A；（2）当02BAC时没有极值；（3）当02BAC时可能有极值，也可能没有极值。4.求函数),(yxfz的极值的步骤（1）求偏导数xf，yf，xxf，xyf，yyf；（2）解方程组0),(0),(yxfyxfyx，求出一切驻点；（3）对于每一驻点),(yx，求出),(yxfAxx，),(yxfBxy，),(yxfCyy的值；（4）定出2BAC的符号，按定理7.3的结论判定出),(yxf是否是极值、是极大值还是极小值。例1．求函数xyyxyxf3),(33的极值。解：1100033),(033),(22yxyxxyyxfyxyxfyx和，驻点为（0，0），（1，1）。6),(3,),(,6),(yyxfyxfxyxfyyyxxx。（1）在驻点（0，0）处，00),0(3,0),0(0,0),0(yyyxxxfCfBfA，∵092BAC,∴函数),(yxf在点（0，0）无极值。（2）在驻点（1，1）处，61),1(3,1),1(6,1),1(yyyxxxfCfBfA，∵0273692BAC,且0A，∴函数),(yxf在点（1，1）有极小值1)1,1(f。思考：若),(0yxf及),(0yxf在),(00yx点均取得极值，则),(yxf在点),(00yx是否也取得极值？二、最大值及最小值有界闭区域D上连续的函数必有最大值和最小值。求有界闭区域D上多元连续函数的最大值和最小值时，只要求出函数在D内的驻点、一阶偏导数不存在的点处的函数值及该函数在D的边界上的最大值和最小值，比较这些值，其中最大者就是该函数在D上的最大值，最小者就是该函数在D上的最小值。在实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数在区域D内一定有最大（小）值，而函数在D内只有一个驻点，那么可以断定该驻点处的函数值就是函数在D上的最大（小）值。解:先求函数22yxz在圆域D内的驻点。由0202yyzxxz，)0,0(得驻点，显然0)0,0(z是最小值，最大值必在圆域D的边界，即圆周上9)2()2(22yx上达到。再求函数22yxz在圆周上的最大值。例2．求函数22yxz在圆域}9)2()2(),{(22yxyxD上的最大值和最小值。圆周的参数方程为20,sin32cos32ttytx，代入22yxz，得)cos(sin2613)sin32()cos32(22ttttz25)4sin(1213t，∴函数22yxz在圆周上的最大值为25。故在圆域D上25maxz，0minz。例3．某厂要用铁板做成一个体积为32m的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？即)0,0()22(2yxyxxyA。令0)2(20)2(222yxAxyAyx解：设水箱的长为xm，宽为ym，则高mxyh2。此水箱用料的面积)22(2xyxxyyxyA，xyz解之，得32yx，∵函数A在定义域0,0),(yxyxD内只有唯一的驻点)2,2(33，又由问题的实际意义可知,函数A在定义域D内一定有最小值，∴当水箱的长和宽均为m32，高为m3332222时，水箱所用的材料最省。实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．xyyxyxUlnln),(问题的实质：求在条件下的极值点．yxyxUlnln),(200108yx三、条件极值（拉格朗日乘数法）无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.1．条件极值在条件0),,(zyx的限制下，求函数),,(zyxfu的极值，叫做条件极值问题，方程0),,(zyx叫做约束方程。2．拉格朗日乘数法设),,(zyxf和),,(zyx在所考虑的区域内具有连续的一阶偏导数，且0z。由方程0),,(zyx所确定的隐函数为),(yxzz，则zxxz，zyyz，xzzxzxffxzffxu，yzzyzyffyzffyu，由极值存在的必要条件得0),,(0000zyxffffyuxuyzzyxzzx即①解此方程组，得可能极值点),,(zyx。(,)(,,)(,,(,))zzxyufxyzufxyzxy将带入得方程组②表示了函数),,(),,(),,,(zyxzyxfzyxF的四个一阶偏导数等于0：令zzf，方程组①可改写为0),,(000zyxfffzzxyxx②从方程组②中解出,,,zyx，其中(zyx,,)即为可能极值点。这种方法叫做拉格朗日乘数法。0),(000yxFfFfFfFzzzyyyxxx③函数),,(),,(),,,(zyxzyxfzyxF称为拉格朗日函数，数称为拉格朗日乘数。3．用拉格朗日乘数法求条件极值的步骤（1）构造Lagrange函数：),,(),,(),,,(zyxzyxfzyxF，（2）解方程组0),,(000zyxFFFzyx，即0),,(000zyxfffzzxyxx，得可能极值点),,(zyx。注：（1）若由问题的实际意义知必存在条件极值，且只有唯一的驻点，则该驻点即为所求的极值点。（2）拉格朗日乘数法可推广到自变量多于三个而约束条件多于一个的情形。例如：求函数),,,(tzyxfu在约束条件0),,,(tzyx，0),,,(tzyx下的极值，可构造辅助函数),,,(),,,(),,,(),,,,,(2121tzyxtzyxtzyxftzyxF。例4．求表面积为2a而体积为最大的长方体的体积。构造Lagrange函数)222(),,,(2axzyzxyxyzzyxF，令(4)0222(3)0)(2(2)0)(2(1)0)(22axzyzxyFyxxyFzxxzFzyyzFzyx解：设长方体的三棱长为zyx,,，则得条件极值问题：22220)0,0,(maxaxzyzxyzyxxyzV由（1）、（2）、（3）得zyx，将此代入（4）得6azyx。∴函数在V驻点处取得最大值，即当长、宽、高均6a为时，长方体有最大体积：3max366aV。∵在定义域}0,0,0),,{(zyxzyxD内函数只有唯一的驻点(6a,6a,6a)，而函数DV在内必有最大值，例5．在旋转椭球面12222zyx上，求距离平面62zyx的最近点和最远点。解：设),,(zyx为旋转椭球面12222zyx上的任意一点，则该点到平面62zyx的距离662zyxd。原问题等价于求函数22)62(6),,(zyxdzyxf在条件12222zyx下的极值。设)12()62(),,,(2222zyxzyxzyxF，令(4)01z2(3)02)62(2(2)02)62(2(1)04)62(4222yxFzzyxFyzyxFxzyxFzyx由（1）、（2）、（3）得zyx，将此代入（4）得142x，故21zyx。由于驻点只有两个，且最近点与最远点存在，故得最近点为)21,21,21(，最近距离为632；最远点为)21,21,21(，最远距离为634。求得驻点)21,21,21(，此时相应的距离为6326)21(21212611d；634621)21()21(2612d。