与二项式系数的性质杨辉三角2.3.1二项式定理3.1.ban式系数并填入下表展开式的二项用计算器计算探究?,你发现了什么规律通过计算填表654321n展开式的二项式系nba.些规律发现某助我们也能帮化有时式的变表示形:,?.,写成如下形式可将上表为了方便呢除此之外还有什么规律称性每一行中的系数具有对现从上表可以发1615201561ba15101051ba14641ba1331ba121ba11ba654321?律吗式发现一些新的规你能借助上面的表现形探究;1,1,:,离的项的系数相等等距与这两个每行两端都是在同一行中例如上表中蕴含着许多规律.CCC,CC,C1,.1,rn1rnr1nrn1rnr1n容易证明及别为那么它肩上的两个数分的数为为设表中任一不事实上两个数的和肩上它以外的每一个数都等于除在相邻的两行中十五一一一一一一一二十六六十五一一一一一一二三三四四六五十十五本积商除平方立方三乘四乘五乘左积右积之除而实命方商乘廉以廉皆者藏中算隅乃裘右数积乃裘左13.1图).13.1(,,》《1261,图示的形式记载的是用汉字表在这本书里字表示里的表用阿拉伯数所不同的只是这了一书里就出现法详解九章算著的年所家杨辉在数学表在我国南宋这个值得指出的是.,,.,)16621623,calBlaisePas(,,11.)11(,》《,”“,》《,值得中华民族自豪的的成就是非常由此可见我国古代数学五百年左右洲早杨辉三角的发现要比欧这就是说帕斯卡三角他们把这个表叫做首先发现的学家帕斯卡这个表被认为是法国数洲在欧世纪不晚于这表明我国发现这个表用过它已经世纪约公元且我国北宋数学家贾宪算书释锁杨辉指出这个方法出于肩上两个数的和都等于它外的每一个数以一还说明了表里里一书详解九章算法在辉三角这个表称为杨).23.1(7,6n.,n.n,,2,1,,rfrC.,C,,C,C,Cbarnnn2n1n0nn图个孤立点其图象是例如象我们还可以画出它的图定的对于确义域是其定为自变量的函数可看成是以分析它们来我们还可以从函数角度式系数展开式的二项对于0?.9,8,7n出它们有哪些异同吗你能看时的函数图象请你分别画出1234565101520orrf23.1图.23.1数的一些性质来研究二项式系和图杨辉三角下面结合.CC,.1mnnmn得到这一性质可直接由公式事实上系数相等个二项式的两等距离与首尾两端对称性.,rf2nx它是图象的对称轴分的图象分成对称的两部将函数直线k!1k1kn2n1nnC2kn因为增减性与最大值,k1knC1kn;,.,21nk,21nk1k1kn,k1knCC1knkn且在中间取得最大值渐减小的分是逐由对称性知它的后半部系数是逐渐增大的二项式时当可知由决定的增减情况由相对于所以中间是奇数时当,n.,C.C21nn21nn且同时取得最大值相等的两项,xCxCxCxCCx13nnnrrn22n1n0nn已知各二项式系数和.CCCC2,1xnn2n1n0nn则令?吗组合等式下这个你能用组合意义解释一,这就是说.2bann系数的和等于的展开式的各个二项式.,,1721353521717n,6n.1nn,1,.二项式系数从而可根据这个表来求延伸下去就可以将二项式系数表这样的各二项式系数相应于可写出的各二项式系数中相应于杨辉三角如根据的二项式系数于应的各二项式系数写出相根据相应于可以性质这个和的数等于它肩上两个以外的每一个数都中除杨辉三角利用例如许多问题利用这些性质可以解决.,ba:3n二项式系数的和系数的和等于偶数项的奇数项的二项式的展开式中在试证例,CCC4n2n0n为奇数项二项式系数的和分析,CCC5n3n1n为偶数项二项式系数的和.b,a,b,abCbaCbaCaCbannn22n2n1n1nn0nn个系数和适当赋值来得到上述两因此我们可以通过对可以取任意实数中的由于.b,a.,,b,a,的值要灵活选取的需我们可以根据具体问题还可以是别的项式也可以取任意多既可以取任意实数实际上,C1CCCC11,1b,1a,bCbaCbaCaCbannn3n2n1n0nnnnn22n2n1n1nn0nn则得令中在展开式证明,CCCC03n1n2n0n即3n1n2n0nCCCC所以.,ban数的和等于偶数项的二项式系和奇数项的二项式系数的的展开式中即在,xCxCxCxCCx1,nnnkkn22n1n0nn联想到实际上.,01f,xCxCxCxCCx1xf,xnnnkkn22n1n0nn的结果由此很容易得到要证明那么即的函数把它看成是关于中的一些秘密杨辉三角探究与发现..,,来探索一下这些性质下面就多有趣的性质杨辉三角本身包含了许实际上展开式的一些性质了二项式前面借助杨辉三角讨论行第行第行第行第行第行第行第行第行第n1CCCCC11n654133131212111102n1nr1n1r1n21n11n.?,.1你的发现填写在空格上将规律吗你能发现每一行的数字观察图形即展开式的系数项式行就是二杨辉三角的第从上述图形可以看到,ban,nnnnrrn2n1n1nn0nnbCbaCbaCaCba?,.2两行的数有什么关系吗你能发现组成它的相邻观察杨辉三角图形.,1,的两个数相加其余的数都等于它肩上组成的是由数字这个三角形的两条腰都可以发现.?,1.3再连一些数字试试自己你能发现什么规律从连线上的数字如图.,rn.CCCC,,C1041,C631,C321:,r1nr2rr1rrr31n21n11n纳法来证明上式等式可以用数学归实际上一般地项的和想下列数列的前若干猜根据你发现的规律111111123451111345610101图?,,?,,2.4你有什么发现和仔细观察这些和标出其余各行的处请你在出经在斜行上末标上的数字的和已位于前几条斜行杨辉三角图形中的斜行中如图!?,与同学交流一下排列规律吗数的你还能再找出其他一些律除了这几个数的排列规111111123451111345610101116152015617213535217182856705628812图作业:P37(A组7—8和B组)