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第三章概率章末复习方案与全优评估要点整合再现高频考点例析考点一阶段质量检测考点二考点三考点四1．判定互斥事件与对立事件的方法(1)利用基本概念：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．(2)利用集合的观点来判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A、B.①事件A与B互斥，即集合A∩B＝∅；②事件A与B对立，即集合A∩B＝∅，且A∪B＝I，也即A＝∁IB或B＝∁IA；③对互斥事件A与B的和A＋B，可理解为集合A∪B.2．古典概型古典概型是一种最基本的概型，也是学习其它概率的基础，在高考题中，经常出现此种概型的题目，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝mn时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，求出n、m.3．几何概型几何概型同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置．要理解并掌握几何概型试验的两个基本特征，即：每次试验中基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性，并能求简单的几何概型试验的概率．[例1]对一批U盘进行抽检，结果如下表：抽出件数a50100200300400500次品件数b345589次品频率ba(1)计算表中次品的频率；(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2000个U盘，至少需进货多少个U盘？[解](1)表中次品频率从左到右依次为0.06，0.04，0.025,0.017,0.02,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2000，因为x是正整数，所以x≥2041，即至少需进货2041个U盘．[借题发挥]随机事件的频率与概率的区别与联系：频率概率区别频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，是随机的概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小联系频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.1．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率(1)填写表中击中靶心的频率；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？mn解：(1)表中依次填入的数据为0.80,0.95,0.88,0.92，0.89，0.91.(2)由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9.[例2]一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．[解](1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．因此所求事件的概率P＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝316.故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－316＝1316.[借题发挥](1)判断事件间的关系时，一是要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的前提条件都是一样的．二是考虑事件的结果是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．(2)应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件彼此是否互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．2．在同一试验中，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是()A．互斥不对立B．对立不互斥C．互斥且对立D．不互斥、不对立解析：若A为必然事件，B是不可能事件，则事件A与B不可能同时发生且必有一个发生，则事件A与B互斥且对立．答案：C3．某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？解：(1)设事件“电话响第k声时被接”为Ak(k∈N)，那么事件Ak彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，根据互斥事件概率加法公式，得P(A)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为A.根据对立事件的概率公式，得P(A)＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.[例3](2012·郑州高一检测)某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第一号车站(首发站)乘车．假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的．约定用有序实数对(x，y)表示“甲在x号车站下车，乙在y号车站下车”．(1)用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来；(2)求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；(3)求甲、乙两人在不同的车站下车的概率．[解](1)甲、乙两人下车的所有可能的结果为(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(2)设甲、乙两人同在第3号车站下车的事件为A，则P(A)＝19.(3)设甲、乙两人在不同的车站下车的事件为B，则P(B)＝1－3×19＝23.[借题发挥](1)利用古典概型概率公式P＝mn，计算概率时，关键是求出m，n.(2)求基本事件个数常用列举法、列表法来解决．4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是()A.45B.35C.25D.15解析：∵当b＝1时，没有满足条件的a值；当b＝2时，a＝1；当b＝3时，a可以是1，可以是2，∴共3种情况．而从{1,2,3,4,5}中随机取一个数a，再从{1,2,3}中随机取一个数b，共有3×5＝15种不同取法，∴概率为315＝15.答案：D5．在平面直角坐标系中，从5个点：A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中任取三个，求这三点能构成三角形的概率．解：从5个点中任取3个点的所有可能结果为：(A，B，C)，(A，B，D)，(A，B，E)，(A，C，D)，(A，C，E)，(A，D，E)，(B，C，E)，(B，D，E)，(C，D，E)，共10个．而不在同一直线上的结果有8个，(A，C，E)，(B，C，D)除外．故所求事件概率为P＝810＝45.[例4]点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为__________．[答案]23[解析]如图可设AB＝1，根据几何概型概率计算公式可知其整体事件是其周长3，则其概率是23.[借题发挥]若试验同时具有：①基本事件的无限性；②每个事件发生的等可能性两个特征，则此试验为几何概型，由于其结果的无限性，概率就不能应用P(A)＝mn求解，故需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．6．如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形体，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为()A.413B.213C.113D.313解析：设阴影小正方形边长为x，则在直角三角形中有22＋(x＋2)2＝(13)2，解得x＝1或x＝－5(舍)，∴阴影部分面积为1，∴飞镖落在阴影部分的概率为113.答案：C7．在区间[－1,1]上随机取一个数x,cosπx2的值介于0到12之间的概率为()A.13B.2πC.12D.23解析：由cosπx2＝12，x∈[－1,1]得x＝±23，如图使cosπx2的值介于0到12之间的点落在－1，－23和23，1内．∴所求概率P＝2×132＝13.答案：A点此进入