几种常见函数的导数

一、复习：1.求函数的导数的方法是:(1)()();yfxxfx求函数的增量(2):()();yfxxfxxx求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)()lim.xyyfxx求极限，得导函数2.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.（3）函数f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值，即。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。)(0xf)(xf0|)()(0xxxfxf（2）函数的导数，是对某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数。)(xf（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。3.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。用导数的定义求下列各函数的导数：(4)f(x)=x2(5)f(x)=x3x1)x(f)6(k)x(fkxy0xkx)bkx(b)xx(kx)x(f)xx(fxy'即无限趋近于时，无限趋近于当(1)f(x)C(C为常数）x)x()3(f(2)f(x)=kx+b(k,b为常数）.yxy已知，求xyxxxxxx解：1yxxxx0011limlim.2xxyyxxxxx'''2'3'2'2'(1)(kxb)k(k,b(2)C0(C(3)(x)1(4)(x)2x(5)(x)3x11(6)()xx1(7)(x)2x为常数）为常数）思考：由（3）-（7），你能发现什么规律？12xx112212xx二、新课——几种常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.公式1:.)(0为常数CC.0lim)(,0,)()(,)(:0xyCxfxyCCxfxxfyCxfyx证公式2:.)()(1Qnnxxnn))(1(:3x例如)1(2x)(x)1(53x))(1(:3x例如)1(2x)(x)1(53x公式3:.xxcos)(sin要证明这个公式,必须用到一个常用极限.1sinlim0xxxxxxxfxxfyxxfysin)sin()()(,sin)(:证,2sin)2cos(2xxx,22sin)2cos(2sin)2cos(2xxxxxxxxxy.cos1cos22sinlim)2cos(limlim)(sin)(000xxxxxxxyxxfxxx同理可证,公式4:.xxsin)(cos为常数）(x)x)(1(1'1)a0,lna(aa)a)(2(x'x且1)a,0a(xlna1elogx1)xlog)(3(a'a且sinx(7)(cosx)'e)e)(4(x'xx1(5)(lnx)'cosx)sinx)(6('基本初等函数求导公式:三、例题选讲例1:求过曲线y=cosx上点P()且与过这点的切线垂直的直线方程.21,3.23sin|,sin,cos3xyxyxyx解：；的斜率为点且与切线垂直的直线从而过，处的切线斜率为故曲线在点3223)21,3(PP12(),23323230.32yxxy所求的直线方程为即注:满足条件的直线称为曲线在P点的法线.例2:已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直?并说明理由.解:设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件.;cos|,cos)(sin00xyxxyxx得由;sin|,sin)(cos00xyxxyxx得由由两条曲线的切线在点P互相垂直,则cosx0(-sinx0)=-1,得sinx0cosx0=1,这不可能,所以不存在满足题设条件的一个点.即sin2x0=2.为常数）(x)x)(1(1'1)a0,lna(aa)a)(2(x'x且1)a,0a(xlna1elogx1)xlog)(3(a'a且sinx(7)(cosx)'e)e)(4(x'xx1(5)(lnx)'cosx)sinx)(6('基本初等函数求导公式:知识回顾：2．回顾导数的定义．xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(003．利用导数定义求，，的导数．xxxf2)(2)(xxgxxh)(4．探究上述三个函数及导数之间的关系．结论：.)()()(22xxxx即：)()(xvxu5．猜想一般函数的结论)()(xvxu)()(xvxu)()(xvxu).()()(xhxgxf).()()(xhxgxf函数的和、差、积、商的导数证明猜想).()()()(xvxuxvxu证明：令).()()(xvxuxfy)()()()(xvxuxxvxxuy.)()()()(vuxvxxvxuxxu.limlimlimlim0000xvxuxvxuxyxxxx即).()()()(xvxuxvxu.xvxuxy∴函数的和、差、积、商的导数法则1两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即：.)(vuvu.sin)(.12的导数求函数例xxxf.2623)(.223的导数求函数例xxxxg法则2两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：函数的和、差、积、商的导数常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数．推论：若C为常数，)(Cu.uC.)(vuvuuv.sin)(3的导数：求函数例xxxh法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即.)(vuvuuv证:()()(),yfxuxvx令()()()()yuxxvxxuxvx.)()()()()()(xxvxxvxuxxvxxuxxuxy因为v(x)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当Δx→0时,v(x+Δx)→v(x).从而:);()()()()()(lim)()()()(limlim000xvxuxvxuxxvxxvxuxxvxxuxxuxyxxx()()()()()()()(),uxxvxxuxvxxuxvxxuxvx即:.)(vuvuuvy函数的和、差、积、商的导数法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方,即：)0(''2'vvuvvuvu.1)(42的导数：求函数例ttts的导数求4532.122xxxy的导数求)23)(32(.22xxy98182xx解：)23)(32()23()32(22xxxxy3)32()23(42xxx∴.98182xxy6946)23)(32(232xxxxxy法二：练习的导数xxysin.32xxxxxy2'2'2'sin)(sinsin)(解：xxxxx22sincossin2处的导数在点求333.42xxxy222')3(2)3()3(1xxxxy解：222)3(36xxx6114424)39(3189|23'xy函数的和、差、积、商的导数课堂小结1、和、差、积、商的导数运算法则；2、和、差、积、商的导数运算法则的运用；3、多项式函数的导数的求法。作业：