4-4.15坐标系与参数方程习题2

坐标系与参数方程感悟高考明确考向(2010·广东)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ2π)中，曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标为_____．解析曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，ρ(sinθ－cosθ)＝1化为直角坐标方程为y－x＝1.联立方程组x＋y＝1，y－x＝1，得x＝0，y＝1，则交点为(0,1)，对应的极坐标为1，π2.1，π2考题分析本小题考查了极坐标的概念，曲线的极坐标方程以及利用曲线的极坐标方程求曲线的交点问题．考查了极坐标的基础知识以及运用极坐标解决问题的能力．易错提醒(1)易忽略ρ≠0的条件和0≤θ2π.(2)忽视极坐标与直角坐标的互化．主干知识梳理1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθy＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2tanθ＝yx(x≠0).2．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过M(b，π2)且平行于极轴：ρsinθ＝b.3．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；(3)当圆心位于M(r，π2)，半径为r：ρ＝2rsinθ.4．直线的参数方程过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．5．圆的参数方程圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ.(θ为参数，0≤θ≤2π)6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为x＝acosθy＝bsinθ(θ为参数)．(2)双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程为x＝asecθy＝btanθ(θ为参数)．(3)抛物线y2＝2px(p0)的参数方程为x＝2pt2y＝2pt.热点分类突破题型一极坐标与直角坐标(方程)的互化例1(1)若点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的极坐标为________(0≤θ2π)；(2)将曲线的极坐标方程sinθ＝13化为直角坐标方程为________________．思维启迪用极坐标与直角坐标的互化公式求解．解析(1)∵P的直角坐标为(1，－3)，∴ρ＝12＋(－3)2＝2，tanθ＝yx＝－3.又点P在第四象限，0≤θ2π，∴θ＝5π3.∴P的极坐标为(2，5π3)．(2)∵sinθ＝13，∴ρsinθ＝13ρ，∴y＝13x2＋y2，∴x2＝8y2，∴y＝24x，y＝－24x.又y＝13x2＋y20，∴y＝24x(x0)和y＝－24x(x0)．答案(1)(2，5π3)(2)y＝24x(x0)和y＝－24x(x0)探究提高(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．变式训练1曲线ρ＝4sinθ的直角坐标方程为________________．解析∵ρ＝4sinθ，∴ρ2＝4ρsinθ，∴x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.∴曲线的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4.x2＋(y－2)2＝4题型二曲线的极坐标方程的应用例2(2010·广东)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为______．思维启迪(1)化为直角坐标方程求交点，再将交点坐标化为极坐标．(2)直接联立极坐标方程求解．解析曲线ρ＝2sinθ化为直角坐标系方程为x2＋y2－2y＝0.由ρcosθ＝－1可化为x＝－1.将x＝－1代入x2＋y2－2y＝0得x＝－1，y＝1，因此交点的直角坐标为(－1,1)，化为极坐标为2，3π4.答案2，3π4探究提高解决这类问题一般有两种思路．一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．变式训练2在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝1，圆C的圆心是C(1，π4)，半径为1.则圆C的极坐标方程为_________________．解析设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则∠AOD＝π4－θ或∠AOD＝θ－π4，OA＝ODcos(π4－θ)或OA＝ODcos(θ－π4)，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．ρ＝2cos(θ－π4)题型三参数方程及其应用例3过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线x＝t＋1t，y＝t－1t(t为参数)相交于A、B两点，则线段AB的长为________．思维启迪利用直线的参数方程来求直线被圆锥曲线所截弦长问题，计算量相对较小，解题时应注意直线参数方程中参数t的几何意义．解析直线的参数方程为x＝－3＋32s，y＝12s(s为参数)，又曲线x＝t＋1t，y＝t－1t(t为参数)可以化为x2－y2＝4，将直线的参数方程代入上式，得s2－63s＋10＝0.设A、B对应的参数分别为s1、s2，∴s1＋s2＝63，s1s2＝10.AB＝|s1－s2|＝(s1＋s2)2－4s1s2＝217.答案217探究提高直线参数方程的标准形式是x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα.其中参数t有明显的几何意义．|t|表示直线任一点P(x，y)到定点P0(x0，y0)的距离．变式训练3已知直线x＝1＋45ty＝－1－35t(t为参数)被曲线ρ＝2cosθ＋π4所截的弦为AB，则线段AB的长为__________．解析将方程x＝1＋45ty＝－1－35t，ρ＝2cosθ＋π4分别化为普通方程：3x＋4y＋1＝0，x2＋y2－x＋y＝0，圆心C12，－12，半径为22，圆心到直线的距离d＝110，弦长＝2r2－d2＝212－1100＝75.答案75规律方法总结1．极坐标方程与普通方程互化核心公式：x＝ρcosθy＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2tanθ＝yx.2．过点A(ρ0，θ0)倾斜角为α的直线方程为ρ＝ρ0sin(θ0－α)sin(θ－α).特别地，①过点A(a,0)，(a0)，垂直于极轴的直线l的极坐标方程为ρcosθ＝a.②平行于极轴且过点A(b，π2)(b0)的直线l的极坐标方程为ρsinθ＝b.3．圆心在点A(ρ0，θ0)半径为r的圆方程为r2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．4．重点掌握直线的参数方程x＝x0＋tcosθy＝y0＋tsinθ(t为参数)，理解参数t的几何意义.知能提升演练一、选择题1．将正弦型曲线y＝3sin(12x－π6)变换为y＝sin(x－π6)的变换是()A.x′＝12xy′＝3yB.x′＝2xy′＝13yC.x′＝2xy′＝3yD.x′＝12xy′＝13yD2．直线的参数方程为x＝tsin40°－1y＝－tcos40°(t是参数)，则直线的倾斜角为()A．40°B．50°C．140°D．130°解析因为x＝tsin40°－1y＝－tcos40°⇒x＝－tcos130°－1y＝－tsin130°，所以倾斜角为130°.D3．不论θ取何值，方程x2＋2sinθ·y2＝1所表示的曲线必定不是()A．直线B．抛物线C．圆D．双曲线解析∵－1≤sinθ≤1，当sinθ＝0时，表示直线；当sinθ＝12时，表示圆；当－1≤sinθ0时，表示双曲线；当0sinθ≤1且sinθ≠12时，表示椭圆．B4．抛物线x2－2y－6xsinθ－9cos2θ＋8cosθ＋9＝0(其中θ∈R)的顶点的轨迹是()A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线解析原方程化为y＝12(x－3sinθ)2＋4cosθ，设顶点为(x，y)，则x＝3sinθy＝4cosθ，消去参数θ得轨迹方程为y216＋x29＝1，它是椭圆．B5．给出下列结论：(1)极坐标方程ρ＝4cosθ表示圆心在极轴上，半径为2的圆；(2)参数方程x＝2＋rcosαy＝－1＋rsinα(r为参数)表示圆心为(2，－1)，半径为r的圆；(3)参数方程x＝－1＋4cosαy＝2＋3sinα(α为参数)表示长、短轴分别为4、3，中心在(－1,2)的椭圆；(4)以x2＋y2＝9为基圆的渐开线的参数方程为x＝3(cosθ＋θsinθ)y＝3(sinθ－θcosθ)(θ为参数)．其中正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个B6．空间一点的球坐标为(4，π6，5π4)，则P点的直角坐标为()A．(2，－6，－22)B．(－6，2，－22)C．(－2，－2，23)D．(－6，－6，2)解析设空间P的球的坐标(r，α，θ)与直角坐标(x，y，z)之间的转换关系是x＝rsinαcosθy＝rsinαsinθz＝rcosα，这里r＝4，α＝π6，θ＝5π4，故x＝－2y＝－2，z＝23即P点的直角坐标为(－2，－2，23)．C二、填空题7．极坐标方程分别为ρ＝cosθ与ρ＝sinθ的两个圆的圆心距为________．解析圆心分别为(12，0)和(0，12)．228．设直线过极坐标系中的点M(2，π2)，且平行于极轴，则它的极坐标方程为________．解析在相应的直角坐标系中，直线的方程为y＝2.ρsinθ＝29．直线x＝3＋4ty＝4－5t(t为参数)的斜率为________．解析k＝y－4x－3＝－5t4t＝－54.－5410．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝π6，则直线l的参数方程为____________________．解析直线l的参数方程为x＝1＋tcosπ6，y＝1＋tsinπ6，故答案为x＝1＋32t，y＝1＋12t.(t为参数)．x＝1＋32ty＝1＋12t(t为参数)11．直线x＝－2＋4t，y＝－1－3t(t为参数)被圆x＝2＋5cosθ，y＝1＋5sinθ(θ为参数)所截得的弦长为________．解析将直线化为普通方程：3x＋4y＋10＝0；将圆化为普通方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝25，圆心为(2,1)，半径为5，则圆心到直线3x＋4y＋10＝0的距离d＝|3×2＋4×1＋10|32＋42＝205＝4，则弦长的一半为3，则弦长为6.612．(2010·陕西)已知圆C的参数方程为x＝cosα，y＝1＋sinα(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为____________．解析∵y＝ρsinθ，∴直线l的直角坐标方程为y＝1.由x＝cosα，y＝1＋sinα得x2＋(y－1)2＝1.由y＝1，x2＋(y－1)2＝1得x＝－1，y＝1或x＝1，y＝1.∴直线l与圆C的交点的直角坐标为(－1,1)和(1,1)．(－1,1)，(1,1)13．直线l的参数方程为x＝a＋ty＝b＋t(t为参数)